선암동 고등수학과외

첫 공이 빨강일 때도 전체를 다시 세는가

확률과 통계의 조건부확률에서는 답의 모양보다 문제에 적힌 조건을 먼저 확인해야 한다. 빨강 3개, 파랑 2개의 같은 크기 공을 매번 하나씩 균등하게 추출하고, 추출한 공을 다시 돌려놓은 뒤 충분히 섞는 상황을 보자. 첫 공이 빨강이라는 조건에서 둘째 공도 빨강일 확률을 묻는 문제다. 이렇게 답했다면 어떨까. 첫 번째 빨강을 빼고 남은 빨강 2개와 전체 4개를 세어 2/4=1/2라고 하는 것이다. 계산 자체는 익숙하지만, 공을 돌려놓았다는 조건이 빠져 있다.

이때 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않는다. “첫 공을 돌려놓았다는 조건을 반영했는가?”라고 묻고, 첫 공을 실제로 다시 넣었는지 문제 문장에 표시하게 한다. 또 조건부확률 P(B|A)는 A가 일어난 경우만 남긴 뒤 그 안에서 B도 일어난 비율이며 P(A)>0일 때 정의된다는 점을 확인한다. 세로로 진행되는 추출 순서가 있다고 해서 조건부확률이 시간적 원인이나 방향을 뜻하는 것은 아니다. 조건을 만족하는 경우의 전체를 어떻게 정했는지가 핵심이다.

조건을 표시한 뒤 식을 학생이 완성하기

교사는 “첫 공이 빨강인 경우”와 “둘째도 빨강인 경우”를 각각 표시하게 한다. 복원 후 두 번째 추출 직전의 상자를 다시 그리면 빨강 3개와 파랑 2개, 전체 5개가 그대로 남는다. 따라서 학생은 첫 결과를 조건으로 남겨 두되, 복원 때문에 둘째 추출의 구성은 처음과 같다는 사실을 식으로 연결해야 한다. P(둘째 빨강|첫째 빨강)=3/5이다. 교사가 식을 끝까지 대신 써 주기보다, 이 근거 다음의 계산과 결론을 학생이 직접 완성하게 한다.

학생이 직접 “둘째 추출 때 빨강은 3개, 전체는 5개이므로 3/5”라고 수정해 보았다면, 이제 부분 검산을 한다. 첫 결과가 빨강이어도 복원 뒤에는 두 번째 균등 추출의 구성 자체가 변하지 않는다. 그러므로 첫 결과에 따라 확률이 바뀌지 않는다는 설명과 3/5가 서로 맞는지 대조한다. 단순히 3/5라는 숫자를 외우는 것이 아니라, 복원이라는 조건이 분자와 분모에 어떤 영향을 주었는지 표시해야 한다.

복원하지 않는 문제로 조건을 다시 대조하기

같은 표현을 바꾼 문제가 아니라 조건을 실제로 바꾼 문제를 이어서 풀어 본다. 빨강 3개, 파랑 2개의 같은 크기 공을 하나씩 균등하게 추출하며 이번에는 돌려놓지 않는다. 첫 공이 빨강일 때 둘째도 빨강일 확률은 얼마일까? 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제와 검산 방법만 제시하고, 학생이 남은 공을 직접 표시하게 한다. 첫 빨강을 빼고 돌려놓지 않았으므로 남은 공은 빨강 2개, 파랑 2개, 전체 4개이다. 따라서 확률은 2/4=1/2이다.

마지막으로 학생은 조건에 해당하는 남은 네 공이 같은 가능성을 가진다는 표본공간으로 1/2를 확인한다. 앞 문제의 3/5와 새 문제의 1/2를 나란히 놓고, 달라진 것은 첫 결과가 아니라 추출 후 복원 여부임을 설명하게 한다. 표의 분모를 혼동한다면 조건에 해당하는 행이나 집합만 둘러 표시한 뒤 다시 센다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이렇게 문제·조건을 남겨 둔 채 풀이와 유도 표시를 가리고 다시 시작하며, 다음 점검에서도 학생이 복원 여부를 먼저 찾고 계산과 검산을 스스로 연결하는지 확인한다.