성성지구 고등수학과외

지수의 값이 바뀌면 해의 존재부터 확인하기

오른쪽 지수를 매개변수로 바꾼 문제를 먼저 살펴보자. 실수 a에 대해 logₓ4=a를 만족하는 실수 x가 존재하는지 판단하고, 존재한다면 x를 a로 나타내는 문제다. 로그의 밑이 변수이고 지수의 값도 고정되어 있지 않으므로 식을 계산하기 전에 정의역과 해의 존재 조건을 함께 확인해야 한다. 밑 x는 양수이며 1이 아니어야 하므로 x>0, x≠1이다. 로그의 정의에 따라 xᵃ=4로 바꾸면 a=0일 때는 x⁰=1이 되어 4와 같을 수 없으므로 해가 없다. a≠0이면 x=4^(1/a)로 나타낼 수 있다. 4^(1/a)는 양수이고 4는 1이 아니므로 그 값도 1이 아니다. 따라서 a≠0일 때 해는 x=4^(1/a)이고, a=0일 때는 해가 없다. 이 결론은 특정 수를 대입한 결과가 아니라 지수식의 변환과 밑의 조건을 일반적으로 적용해 얻는다.

기본 문제에서 후보를 만든 뒤 조건으로 걸러 내기

이제 배움노트 고등수학 수업에서 자주 다루는 기본 문제로 돌아가 보자. 실수 x에 대해 logₓ4=2를 풀 때, 로그의 정의로부터 x²=4를 얻을 수 있다. 여기서 곧바로 x=±2라고 쓰면 제곱방정식의 후보는 만들었지만 로그의 밑 조건을 확인하지 않은 셈이다. 교사는 풀이를 대신 고치기보다 “x가 밑일 때 어떤 조건을 만족해야 하는가?”라고 묻고, 학생이 로그의 밑을 실수 전체에서 허용하는지 먼저 말하게 한다. 밑은 양수이고 1이 아니어야 하므로 x>0, x≠1을 식 옆에 적은 뒤 x²=4의 두 후보와 대조한다. x=-2는 양수 조건을 만족하지 않아 제외되고, x=2만 남는다. 따라서 정답은 x=2이다. 검산할 때는 밑 2와 진수 4가 모두 로그에서 허용되는지 확인하고, 2²=4인지 직접 계산한다. 오답 하나만으로 개념 전체를 단정하지 않고, 조건을 몰랐는지 알고도 후보에 적용하지 못했는지를 질문으로 구분하는 과정이 필요하다.

가린 상태에서 조건과 풀이를 다시 연결하기

다시 확인할 때는 기본 문제의 문장과 필수 조건만 남기고, 풀이 과정과 정답·검산 문장은 보이지 않게 둔다. 학생은 먼저 x>0, x≠1을 적고, 로그를 지수식으로 바꾼 뒤 후보를 계산한다. 그 다음 후보 옆에 밑 조건을 표시해 음수 후보를 제외하고, 남은 값이 원래 식을 만족하는지 직접 대조한다. 이어서 지수를 2에서 a로 바꾼 문제를 풀며 표현만 달라진 경우와 실제 조건이 달라진 경우를 구분한다. 이때 a=0을 따로 점검해 x⁰=1≠4임을 쓰고, a≠0에서는 x=4^(1/a)를 얻은 뒤 양수와 1이 아닌 조건을 다시 확인해야 한다. 문제의 숫자나 문장만 바뀌어도 밑의 허용 조건은 그대로 남는다는 점, 매개변수가 등장하면 해가 존재하지 않는 경우를 먼저 살펴야 한다는 점을 풀이에 표시하면 다음 로그방정식에서도 계산 결과와 성립 조건을 분리해 점검할 수 있다.