우두동 고등수학과외

끝점 하나로 치역을 정하면 생기는 오류

유한 구간에서 무리함수의 치역을 구할 때는 정의역의 양 끝 숫자를 그대로 옮겨 적지 않아야 한다. 예를 들어 f(x)=√(x−1)+3, 1≤x<5의 치역을 구한다고 하자. 입력 x의 범위는 1 이상 5 미만이지만, 출력에는 근호의 값과 앞의 상수 3이 함께 반영된다. 이때 정의역의 끝점만 보고 [1,5)라고 답했다면, 입력값의 범위와 함수값의 범위를 같은 것으로 본 셈이다. 그러나 x=1에서는 f(1)=3이고, x가 5에 가까워질수록 f(x)는 5에 가까워질 뿐 5가 되지는 않는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이런 경계값을 먼저 대조한 뒤, 오답이 계산 실수인지 개념을 섞은 것인지 확인한다.

근호 조건과 출력 범위를 나누어 확인하기

먼저 근호가 정의되려면 x−1≥0이어야 한다. 주어진 구간에서는 0≤x−1<4이므로 제곱근의 성질에 따라 0≤√(x−1)<2이다. 여기에 3을 더하면 3≤f(x)<5가 된다. 이 과정에서 “입력의 끝점과 출력의 끝점은 같은 값인가?”라고 질문하면 두 가능성을 구분할 수 있다. 학생이 직접 x=1을 대입해 출력의 최솟값을 표시하고, x=5는 허용되지 않으므로 출력 5도 가능한지 따로 적어 보게 한다. 양변을 제곱해 식을 변형할 때도 후보가 늘어날 수 있으므로, 원식의 정의 조건과 양변의 부호를 먼저 비교해야 한다. 실제로 y∈[3,5)라면 x=(y−3)²+1이고, 0≤y−3<2이므로 x∈[1,5)이다. 반대로 이 범위를 벗어난 y는 원식에서 만들어지지 않는다. 따라서 정답은 [3,5)이며, 끝점 3은 달성되고 5는 달성되지 않는다.

표현이 바뀌어도 조건을 다시 세우는 연습

같은 성질을 다른 식에 적용하면 앞의 부호가 치역을 어떻게 바꾸는지 확인할 수 있다. 문제를 f(x)=−√(x−1)+3, x≥1의 치역을 구하는 것으로 바꾸면 √(x−1)≥0이므로 −√(x−1)≤0이고, 따라서 f(x)≤3이다. y≤3인 값을 하나 정했을 때 x=(3−y)²+1로 대응시킬 수 있으며 이 x는 항상 x≥1을 만족한다. x=1에서는 f(1)=3이고, y가 3보다 작은 모든 값도 실제로 만들어지므로 치역은 (−∞,3]이다. 앞 문제와 식의 표현만 달라진 것인지, 입력 구간 자체가 달라진 것인지도 구별해야 한다.

다음 확인에서는 풀이와 정답을 가린 채 문제의 식과 조건, 그리고 역대응으로 검산하는 방법만 남겨 둔다. 학생은 먼저 근호 안의 조건을 적고, 제곱근의 최소·최대값과 앞의 부호를 이용해 치역 후보를 구성한 뒤, 각 경계값이 실제로 달성되는지 표시한다. 이어 후보 치역의 임의의 y를 x로 되돌려 정의역 조건을 만족하는지 대조한다. 처음 문제에서는 1≤x<5를, 바뀐 문제에서는 x≥1을 놓고 다시 계산해야 하며, 치역을 정의역과 섞지 않는지도 함께 살핀다. 이렇게 문제와 필수 조건만 남긴 상태에서 풀이를 재구성하면, 경계값과 부호를 근거로 치역을 설명하는 습관을 확인할 수 있다.