월곡동 고등수학과외

계산이 “rθ가 나타내는 것은 길이인가 넓이인가?”에서 멈춘 장면을 생각해 보자. 반지름이 3cm이고 중심각이 π/3라디안인 부채꼴의 넓이를 구하는 문제에서 이렇게 답했다면, 먼저 답만 고치기보다 식이 어떤 양을 나타내는지 확인해야 한다. 이 장면에서는 개념을 알고 있는지와 주어진 조건에 맞게 적용했는지를 나누어 살핀다.

각의 단위와 동경의 위치부터 확인하기

중심각이 π/3이라고 주어졌다면 이미 라디안 단위이므로 도 단위로 다시 바꿀 필요는 없다. 도와 라디안의 관계는 180°=π라디안이며, 60°가 제시될 때에는 60°=π/3라디안으로 바꾸어야 한다. 일반각을 다룰 때는 각의 크기만 읽지 말고 동경이 어느 사분면에 놓이는지도 표시한다. 단위원의 점을 (cosθ, sinθ)로 나타내면 사분면에 따라 두 좌표의 부호가 달라진다. 직각삼각형에서 보던 양의 비를 모든 각에 그대로 적용했는지 확인하려면, 동경을 직접 그린 뒤 각 좌표의 부호를 말하게 한다.

rθ와 부채꼴 넓이를 식의 차수로 비교하기

학생의 오답이 rθ=πcm²였다면 “rθ의 단위는 길이인가, 넓이인가?”라고 묻는다. r은 cm이고 θ는 라디안으로 단위를 붙이지 않는 각의 수이므로 rθ는 호의 길이를 나타낸다. 부채꼴 넓이는 반지름이 두 번 들어가는 (1/2)r²θ이므로, 넓이를 구하려면 반지름 하나가 더 필요하다. 따라서 후보 식을 고른 뒤 원래 조건인 반지름 3cm와 중심각 π/3을 모두 사용했는지 대조한다. (1/2)·3²·π/3=(1/2)·9·π/3=3π/2이므로 학생이 직접 식의 각 항과 단위를 표시하게 한다.

정답을 다른 근거로 다시 확인하기

수정한 결과는 3π/2cm²이다. 중심각 π/3은 전체 2π의 1/6이므로, 원의 넓이 9π에서 1/6을 취해도 3π/2cm²가 된다. 이 확인은 특정 숫자에만 맞는 계산이 아니라 같은 중심각이 전체 원에서 차지하는 비율을 이용한 것이다. 이후 문제 자료만 남기고 풀이와 정답은 가린 상태에서, 반지름 3cm와 중심각 60°인 부채꼴의 호의 길이를 다시 풀게 한다. 60°를 π/3라디안으로 바꾼 뒤 l=rθ=3·π/3=πcm이라고 적어야 한다. 전체 원주 6π의 60/360도 계산해 πcm인지 대조하고, 길이에는 cm, 넓이에는 cm²를 붙였는지 확인한다. 표현만 달라진 경우와 조건 자체가 달라진 경우를 구분하면서, 학생이 부채꼴 넓이와 호의 길이를 확인한 근거를 다시 적게 한다. 각의 숫자만 처리하지 말고 단위와 동경의 사분면까지 함께 표시하는지 다음 풀이에서 살핀다.