유천동 고등수학과외

수열 문제에서 계산 결과가 그럴듯해 보여도, 점화식이 실제로 적용되는 번호를 놓치면 결론이 달라진다. 예를 들어 $a_2=3,\ a_{n+1}=a_n+2n$ $(n\ge2)$가 주어졌을 때, $n=1$을 대입해 $a_2=a_1+2$, 따라서 $a_1=1$이라고 답했다면 먼저 그 대입이 허용되는지 확인해야 한다. 조건은 $n\ge2$에서만 성립하므로 $n=1$은 적용 범위 밖이다. 검산 결과도 이 답과 어긋난다. 실제로 $a_1=0$으로 두든 $a_1=100$으로 두든 $a_2=3$으로 정하고 $n\ge2$의 관계를 이어 가면 주어진 조건을 만족할 수 있다. 따라서 $a_1$은 하나로 결정되지 않는다.

n=1을 넣을 수 있는지 먼저 표시하기

이렇게 답했다면 “몇 항을 계산해 보아 규칙을 찾은 것인가, 아니면 모든 자연수에 대해 관계가 성립한다고 본 것인가?”를 나누어 확인한다. 이어 점화식에 $n=1$을 넣어도 된다고 문제에서 밝혔는지 직접 표시하게 한다. $n\ge2$라고 적혀 있다면 첫 관계는 $a_3=a_2+4$이고, 그다음은 $a_4=a_3+6$이다. 즉 $a_2$ 이후의 항은 정해지지만 $a_1$과 $a_2$를 잇는 조건은 없다. 계산한 식의 값과 그 식이 주어진 범위에서 성립하는지는 구분해 적어야 한다.

합과 귀납법의 시작 조건을 함께 대조하기

수열의 합을 항의 증가량으로 바꿀 때도 시작 번호가 중요하다. $a_{n+1}-a_n=2n$이 $n\ge2$에서 성립한다면 $a_2$에서 출발해 $a_3,a_4$로 이어지는 증가량만 합할 수 있다. 귀납법에서도 첫 명제가 참인지, 그리고 그 명제가 다음 번호의 명제로 이어지는지를 각각 확인해야 한다. 몇 항이 맞는다는 관찰만으로 $n=1$의 관계까지 복원할 수는 없다. 학생이 $a_1=0$과 $a_1=100$을 각각 놓고 $a_2=3$ 이후를 계산해 보게 하면, 서로 다른 $a_1$이 같은 주어진 조건을 만족한다는 점을 직접 확인할 수 있다. 그러므로 정답은 “결정할 수 없음”이며, 이는 단순한 대입 계산이 아니라 적용 범위와 유일성에 대한 판단이다.

조건을 바꾼 수열에서 처음부터 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남겨 두고 풀이와 정답을 가린 상태에서 다음 수열을 시작한다. $a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+2n$ $(n\ge1)$일 때 $a_4$를 구하는 경우에는 점화식을 $n=1$부터 사용할 수 있다. 먼저 $a_2=a_1+2=3$을 적고, $a_3=3+4=7,\ a_4=7+6=13$으로 이어 간다. 세 번의 증가량을 한꺼번에 확인하면 $a_4-a_1=2(1+2+3)=12$이므로 $a_4=13$과도 일치한다. 앞 문제와 표현이 비슷해도 $a_1$부터 시작하는 조건이 추가되었으므로 결정 가능성이 달라진다. 다음에는 점화식의 번호를 앞당겨 읽고, 실제로 적용되는 첫 $n$을 적은 뒤 주어지지 않은 연결을 만들지 않는지 스스로 점검한다. 이는 배움노트 고등수학 수업에서 점화식과 수열의 합을 함께 다룰 때 반복해서 확인할 핵심 행동이다.