첨단2지구 고등수학과외

예시 오답과 검산 결과가 어긋난 지점

“f(x)=tan(2x)의 최소 양의 주기와 정의되지 않는 x를 구하라”는 문제에서 이렇게 답했다면 먼저 검산 결과와 비교해야 한다. 탄젠트의 주기를 사인과 같이 π라고 보고, 정의되지 않는 값을 x=π/2+kπ로 적었다면 두 값 모두 입력각과 x의 관계를 충분히 반영하지 못한 것이다. 탄젠트 자체의 기본 주기는 2π가 아니라 π이며, 식 안에 2x가 들어가므로 x의 변화량은 다시 조정해야 한다. 각에 별도 단위 표시가 없으므로 라디안으로 해석한다.

이 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않는다. “tan의 원래 주기는 2π인가, π인가?”를 먼저 묻고, 학생이 기본 주기를 기억해 답하는지 확인한다. 이어 그래프에 수평선이나 반복 구간을 표시하게 하여 한 해만 떠올리는지, 주기와 축척을 x축에 옮기는 과정에서 막히는지 나누어 살핀다. 학생은 자신이 쓴 식에서 탄젠트의 입력각과 실제 x를 각각 밑줄 긋고, 정의되지 않는 조건을 직접 표시한다.

입력각의 조건으로 식을 고쳐 쓰기

탄젠트는 cos 값이 0일 때 정의되지 않는다. 따라서 tan(2x)의 금지값은 2x=π/2+kπ, k∈Z에서 출발해야 한다. 양변을 2로 나누면 x=π/4+kπ/2가 된다. 주기도 tan의 입력이 π만큼 증가하면 같은 함수값을 가지므로 2T=π로 세운다. 이에 따라 최소 양의 주기는 T=π/2이다. 학생이 직접 “입력각의 변화가 π가 되도록 2T=π”라고 적었다면, 단순히 공식을 외운 것이 아니라 식의 배율을 사용해 수정한 것이다.

수정 풀이를 마친 뒤에는 금지값에서 cos(2x)=0인지 계산해 확인한다. 예를 들어 x=π/4이면 2x=π/2이므로 탄젠트가 정의되지 않고, x에 π/2를 더하면 입력각은 π만큼 증가한다. 따라서 tan의 값은 반복되지만, 금지값의 배열도 같은 간격으로 이동한다. 학생은 계산 결과와 그 결과가 성립하는 이유를 구분해 적고, 주기와 정의역 제한을 한 줄에 섞어 쓰지 않도록 표시한다.

조건을 바꾼 식에서 주기와 진폭 구별하기

같은 방법이 다른 삼각함수에도 적용되는지 확인하려면 문제와 조건만 남긴 자료에서 풀이와 정답 표시를 가린 채 시작한다. “f(x)=2sin(3x)의 진폭과 최소 양의 주기를 구하라”를 제시하고, 학생이 먼저 출력 범위와 입력각의 변화를 나누어 적게 한다. 출력은 [-2,2]이므로 진폭은 2이다. 한 주기 동안 안쪽 각 3x가 2π만큼 변해야 하므로 3T=2π, T=2π/3이다.

x가 2π/3만큼 늘면 3x는 2π만큼 증가해 같은 함수값으로 돌아오며, 출력의 최댓값과 최솟값 차이는 4이다. 이 두 확인은 각각 주기와 진폭에 대한 근거다. 표현만 바뀐 문제인지 조건 자체가 달라진 문제인지 구별하면서, 처음 단계와 유도 표시 없이도 탄젠트의 주기 식을 직접 세우는지 살핀다. 주기와 진폭을 혼동한다면 “같은 함수값이 되는 입력 변화량”과 “출력의 높이”를 따로 구하게 하여 다음 풀이에서 다시 대조한다.