관평동 고등수학과외

확률과 통계에서 중복순열과 같은 것이 있는 순열을 구분할 때는 계산식보다 먼저 반복 기호 사용 조건을 읽어야 한다. 특히 자리마다 기호를 고를 수 있는지, 같은 기호를 여러 번 써도 되는지, 모든 기호를 반드시 한 번 이상 써야 하는지를 나누어 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 답의 모양이 익숙하다는 이유로 공식을 바로 고르지 않고, 문제의 조건이 결과에 어떤 제한을 주는지 말로 설명한 뒤 식을 쓰도록 한다.

전체 경우와 조건을 만족하지 않는 경우 나누기

기호 A와 B로 길이 4의 문자열을 만들고 두 기호를 각각 적어도 한 번 사용한다고 하자. 각 자리에서 A 또는 B를 선택할 수 있고 반복도 허용되므로, 조건을 잠시 제외한 전체 문자열 수는 2×2×2×2=2⁴=16이다. 이렇게 답했다면 자리마다 선택하는 방법은 세었지만, 두 기호를 모두 사용해야 한다는 조건을 반영했는지 다시 묻는다.

확인 질문은 “AAAA와 BBBB는 추가 조건을 만족하는가?”이다. 두 문자열은 길이 4라는 조건은 만족하지만 A와 B를 모두 사용하지는 않는다. 따라서 전체 16개에서 조건을 만족하지 않는 AAAA와 BBBB, 두 문자열을 빼야 한다. 학생이 직접 두 문자열에 표시하고 전체 목록에서 빠지는 대상을 대조하면, 16−2라는 수정 계산을 스스로 완성할 수 있다.

오답 하나로 원인을 정하지 않고 표시하며 확인하기

2⁴을 그대로 쓴 이유가 반복을 허용한 선택과 모든 기호를 사용해야 하는 조건을 혼동했기 때문인지, 또는 같은 결과를 중복해서 세었다고 생각했기 때문인지는 한 번의 오답만으로 확정할 수 없다. 그래서 “각 자리의 선택 수를 곱한 뒤, 조건에 맞지 않는 문자열도 포함되었는가?”라고 묻고, 학생이 16개의 경우 중 한 종류만 등장하는 문자열을 직접 찾아 표시하게 한다.

교사는 자리의 구별, 반복 허용, 같은 대상의 구별 여부를 따로 비교한다. 이 문제에서는 네 자리가 서로 구별되고 각 자리에서 A와 B를 반복해 선택할 수 있다. 다만 ‘두 기호를 각각 적어도 한 번’이라는 조건 때문에 한 종류만 사용한 두 경우가 제외된다. 학생은 교사가 제시한 첫 단계를 지운 뒤, 전체 경우와 제외할 경우를 연결하는 식과 그 결론을 직접 작성한다. 수정한 풀이는 16−2=14이며, A의 개수가 1개, 2개, 3개인 경우를 나누면 4+6+4=14가 되어 부분 검산도 가능하다.

풀이를 가린 상태에서 조건이 바뀐 문제에 재적용하기

재적용할 때는 새 문제, 기호와 문자열 길이, 반복 허용 여부 같은 필수 자료만 남기고 기존 풀이·정답·유도 표시를 가린다. 단순히 같은 문제의 기호만 바꾸는 것과 실제 조건이 달라지는 것을 구별해야 한다. 새 문제는 기호 A, B, C로 길이 3의 문자열을 만들고 기호를 반복해도 될 때의 개수를 구하는 것이다. 여기서는 모든 기호를 반드시 사용하라는 조건이 없으므로 각 자리마다 세 기호를 선택할 수 있다.

학생은 자리별 선택을 표시해 3×3×3=3³을 작성하고, 정답 27개를 낸다. 첫 자리를 A로 고정하면 뒤 두 자리가 9개, B와 C로 고정해도 각각 9개씩이므로 9+9+9=27로 대조할 수 있다. 만약 모든 기호를 반드시 사용하라는 조건이 추가된다면 길이 3에서는 각 기호가 한 번씩만 나오는 경우로 제한된다는 점도 비교한다. 다음 점검에서는 공식을 먼저 쓰지 않고 작은 길이의 문자열을 직접 나열해 어떤 결과가 같은지 확인한 뒤, 바뀐 조건을 반영한 식과 이유를 끝까지 작성하게 한다.