반석동 고등수학과외

통학거리 평균을 알아보기 위해 1000명 중 자전거 동아리 학생 200명만 조사했다면, “200명이므로 충분히 커서 임의표본이다”라고 답하기 쉽습니다. 그러나 표본 수를 크게 잡았다는 사실과 전체에서 무작위로 뽑았다는 사실은 같은 조건이 아닙니다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 이 오답을 바로 정답으로 고치기보다, 어떤 조건이 결론을 바꾸었는지 확인하는 데서 시작합니다.

200명의 표본이 전체를 대표하는지 먼저 묻기

먼저 문제의 목표 모집단은 통학거리 평균을 알고 싶은 전체 재학생 1000명입니다. 실제로 조사한 표본은 자전거 동아리 학생 200명으로, 전체에서 선택된 집단이 아니라 특정 동아리에 한정되어 있습니다. 여기서 “전체 재학생 모두가 조사 대상으로 선택될 기회가 있었는가?”라고 확인합니다. 동아리 밖 학생은 처음부터 선택될 수 없으므로, 표본 수가 200명으로 커도 전체의 임의표본이라고 할 수 없습니다.

학생에게는 동아리 학생의 표본평균이 전체 학생의 확정된 평균인지, 아니면 추정에 활용할 수 있는 표본의 요약값인지 직접 표시하게 합니다. 표본평균과 표본비율은 표본을 달리 뽑으면 달라질 수 있습니다. 따라서 표본 크기는 결과의 변동을 줄이는 데 도움을 줄 수 있지만, 추출 틀의 편향을 대신 없애 주지는 않습니다. 신뢰구간 역시 하나의 표본에서 참값을 확정하는 문장이 아니라, 같은 절차를 반복했을 때의 성질을 나타내는 방법으로 해석해야 합니다.

오답의 원인을 추출 방법과 크기로 나누어 확인하기

이렇게 답했다면 원인을 곧바로 “표본 개념을 모른다”라고 단정하지 않습니다. 학생이 표본 요약값을 모집단의 확정값으로 읽은 것인지, 표본 크기와 표본 추출 방법을 혼동한 것인지 나누어 살핍니다. 학생은 문제에서 모집단, 실제 표본, 표본평균을 각각 밑줄 치고, 동아리 밖 학생의 선택 가능 여부를 화살표로 표시합니다. 그런 다음 ‘200명’이라는 수만 가린 뒤, 전체에서 무작위로 뽑았는지 말로 설명하게 합니다.

수정된 설계는 전체 1000명에서 각 학생이 선택될 기회를 갖도록 무작위로 표본을 추출하는 것입니다. 이때에도 표본평균은 모평균 그 자체가 아니라 모평균을 추정하는 값입니다. 표본 수와 추출 방식은 서로 다른 조건이므로, 둘 중 하나만 확인하고 결론을 내리지 않도록 합니다.

모집단과 표본을 나누어 다시 계산하고 대조하기

이제 같은 목적을 유지한 채, 어떤 학교 재학생 1000명의 통학거리 평균을 알아보려고 무작위로 100명을 뽑았고 표본평균이 2.4km라고 하겠습니다. 학생은 먼저 모집단을 전체 재학생 1000명, 표본을 실제로 뽑은 100명으로 적습니다. 2.4km에는 표본평균이라고 표시하고, 이를 모평균의 추정값으로 연결합니다. 모평균을 2.4km로 확정할 수 있는지는 ‘아니오’입니다.

표본을 다시 뽑으면 표본평균이 달라질 수 있기 때문입니다. 이는 특정 동아리만 조사한 경우와 무작위 표본을 뽑은 경우를 구별하면서도, 어느 경우든 표본평균과 모평균을 혼동하지 않아야 한다는 뜻입니다. 마지막으로 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답 표시를 가린 뒤, 모집단·표본·추정할 모수를 순서대로 적게 합니다. 편의 추출과 큰 표본이 함께 제시된 다른 상황에서도 먼저 선택 기회를 확인하고, 그다음 표본 크기의 역할을 설명하게 하면 수정한 판단을 독립적으로 재적용할 수 있습니다.