수성구 고등수학과외

“내적 −1의 부호가 뜻하는 각은 예각인가 둔각인가?” 이 질문에서 계산이 멈췄다고 하자. 기하에서 벡터의 내적과 각을 함께 다룰 때는 계산 결과의 크기뿐 아니라 부호, 벡터의 크기, 사이각의 범위를 차례로 확인해야 한다. 이 장면은 개념을 모르는 경우와 알고도 조건 적용에서 빠뜨린 경우를 구분해 살피는 데 적절하다.

절댓값을 취하기 전에 내적의 뜻 확인하기

문제는 a=(1,0), b=(−1,1)의 사이각 θ를 0≤θ≤π에서 구하는 것이다. 먼저 내적은 성분별 곱을 이어 붙인 벡터가 아니라 성분 곱의 합인 실수다. 따라서 a·b=1×(−1)+0×1=−1이다. 두 벡터는 모두 영벡터가 아니므로 사이각이 정의되며, |a|=1, |b|=√2이다.

이렇게 답했다면 원인을 하나로 단정하지 않고 “내적을 성분별 곱 벡터로 생각했는가?”, “각을 구할 때 두 벡터의 크기로 나누는 조건을 놓쳤는가?”라고 설명하게 한다. 특히 내적 −1의 부호가 예각을 뜻하는지 둔각을 뜻하는지 먼저 말하게 하고, 학생이 계산기나 풀이 옆에 내적과 두 벡터의 크기를 각각 표시해 대조하도록 한다. 음의 내적은 cosθ가 음수라는 뜻이므로, 주어진 범위에서는 θ가 둔각 쪽에 놓인다.

식의 부호와 각의 범위를 연결해 수정하기

내적 공식 a·b=|a||b|cosθ를 적용하면 −1=1·√2·cosθ이고, cosθ=−1/√2가 된다. 여기서 음의 부호를 지운 뒤 θ=π/4라고 하면 원래 식의 내적이 −1이 아니라 양수가 되므로 조건과 맞지 않는다. cosθ=−1/√2를 그대로 남겨 후보 각을 고르면 θ=3π/4이다. 학생이 직접 이 식을 세우고, 자신의 후보를 원래 내적 공식에 다시 넣어 부호와 값을 확인하게 한다.

기하적으로도 b는 x성분이 음수이고 y성분이 양수인 제2사분면 벡터다. 따라서 x축의 양의 방향과 이루는 각은 135°, 즉 3π/4이다. 이 해석은 계산 결과를 대신하는 장식이 아니라 부호와 각의 범위가 서로 일치하는지 확인하는 근거가 된다. 절댓값만 사용해 π/4를 얻었다면 크기만 비교하고 방향 정보를 버린 셈이다.

조건만 남긴 재시도로 부호 적용 확인하기

풀이와 정답, 유도 표시는 가린 채 문제와 조건만 남겨 다시 시작한다. 이번에는 a=(1,0), b=(1,1)의 사이각 θ, 0≤θ≤π를 제시하고 필요한 자료만 보이게 한다. 학생은 먼저 |a|=1, |b|=√2를 계산한 뒤 a·b=1이므로 cosθ=1/√2라고 세운다. 내적의 부호가 앞 문제와 달라졌음을 표시하고 θ=π/4를 선택한다.

검산에서는 b가 제1사분면에 있고 두 성분이 같으므로 x축과 45°를 이룬다는 점을 대조한다. 두 문제는 벡터의 표현이 바뀐 실제 조건 변경이며, 단순히 같은 풀이를 외운 결과와는 다르다. 배움노트 고등수학 수업에서도 마지막에는 “내적과 두 크기를 따로 계산했는가?”, “cosθ의 부호와 0≤θ≤π 조건을 함께 확인했는가?”만 남겨 재시도하게 하면, 학생이 필요한 식을 처음부터 세우고 다음 문제에도 같은 판단을 적용했는지 분명히 확인할 수 있다.