매호동 고등수학과외

검산 결과와 예시 오답이 어긋난 지점

다항함수의 미분법에서 f(x)=2x³의 도함수를 구하는 문제를 생각해 보자. 이렇게 답했다면 f′(x)=2x²라는 식은 계수 2는 남겼지만 지수 3을 미분 과정에 반영하지 않은 결과다. 실제 도함수는 6x²이므로 두 식은 일반적으로 같지 않다. 예를 들어 x=1에서 잘못된 식은 2, 올바른 식은 6이 되어 차이가 드러난다. 다만 이 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고, 지수를 내리는 규칙을 모르는 경우와 식의 구조를 잘못 읽은 경우를 나누어 확인한다.

지수와 계수의 역할을 직접 표시하기

먼저 “x³을 미분할 때 앞에 곱해지는 수는 무엇인가?”라고 묻고 학생이 3을 직접 적게 한다. 이어 f(x)=2·x³처럼 곱셈 구조를 표시한 뒤, 상수 2는 그대로 남고 (x³)′=3x²가 된다는 점을 학생의 말로 확인한다. 따라서 f′(x)=2·3x²=6x²로 다시 구성한다. 여기서 항별 미분은 다항식의 각 항에 적용하는 방법이고, 곱의 미분은 두 함수의 곱처럼 구조가 다를 때 쓰는 방법이므로 구별해야 한다. 간단한 식은 전개한 뒤 미분하여 같은 결과가 나오는지도 대조한다. 계산 결과와 그 결과가 주어진 식에서 성립하는지는 따로 적게 한다.

수정한 식은 차분몫으로도 확인할 수 있다. f′(x)=lim h→0{2(x+h)³−2x³}/h이고, 분자를 전개하면 2(3x²h+3xh²+h³)/h=2(3x²+3xh+h²)이다. h가 0으로 갈 때의 극한은 6x²이므로 정답은 6x²이다. 이 검산은 특정 수 하나를 대입한 확인이 아니라 도함수의 정의에서 출발한 일반적인 근거다.

풀이를 가린 뒤 다른 다항식에 재적용하기

배움노트 고등수학 수업의 다음 확인에서는 문제와 필요한 조건, 차분몫으로 확인하는 방법만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 채 시작한다. 문제는 f(x)=3x²−5x+7의 도함수를 구하는 것이다. 학생은 각 항을 미분하여 3x²에서는 6x, −5x에서는 −5를 얻고 상수항 7의 도함수는 0임을 스스로 구성해야 한다. f(x+h)−f(x)를 계산했을 때 7−7이 정확히 소거되는지도 표시하게 한다. 그 결과 f′(x)=6x−5가 되어야 하며, 차분몫의 극한과 일치하는지 대조한다. 이는 같은 식의 표현만 바꾼 문제가 아니라 항과 계수가 달라진 독립 문제이므로, 계수와 지수의 역할을 실제로 옮겼는지 살필 수 있다. 공식 적용이 불안정하면 먼저 전개한 뒤 다시 미분하여 두 결과가 같은지 확인한다.