대곡동 고등수학과외

예시 오답과 검산 결과를 나란히 보기

로그의 정의와 성질을 공부하다 보면 제곱된 진수를 보고 지수를 로그 밖으로 꺼내려는 생각이 먼저 떠오를 수 있다. 문제는 x<0일 때 log₂(x²)를 log₂(−x)를 이용해 나타내는 것이다. 이렇게 답했다면 학생의 풀이는 2log₂x가 된다. 그러나 x=−2를 대입해 나란히 확인하면 원래 식은 log₂4=2인 반면, 오답 식은 log₂(−2)가 되어 실수 범위에서 정의되지 않는다. 두 결과가 다른 이유는 단순히 부호 하나를 빠뜨렸기 때문이라고 바로 단정할 수 없다. 로그의 진수 조건과 성질을 적용할 수 있는 범위를 먼저 확인해야 한다.

“log₂x가 실수로 정의되는가?”에서 멈추기

풀이를 고치기 전에 “x<0이면 log₂x가 실수로 정의되는가?”라고 묻는다. logₐb=c는 aᶜ=b를 뜻하고, 로그가 실수로 정의되려면 밑은 a>0, a≠1이어야 하며 진수는 b>0이어야 한다. 밑 2는 조건을 만족하지만 x<0이므로 log₂x의 진수는 양수가 아니다. 따라서 2log₂x라는 식은 주어진 범위에서 사용할 수 없다. 이때 곱셈 법칙을 덧셈에 잘못 적용했는지도 함께 살핀다. 다만 이 문제의 핵심은 그보다 앞선 정의역 확인이다.

교사는 곧바로 완성된 식을 말하기보다 “−x는 양수인가?”, “x²을 어떤 양수의 제곱으로 바꿀 수 있는가?”를 확인하게 한다. x<0이면 −x>0이고, x²=(−x)²이다. 여기서 멈춘 뒤 학생이 조건을 반영해 다음 줄을 직접 잇게 한다. 양의 진수에 대해서만 거듭제곱 법칙을 적용하면 log₂((−x)²)=2log₂(−x)가 된다. 학생은 예시 오답에서 바뀐 결론을 2log₂x에서 2log₂(−x)로 직접 표시하고, x=−2를 대입해 양변이 모두 2인지 계산한다. 이 부분 검산은 일반 법칙을 대신하는 것이 아니라, 부호와 결과가 맞는지 확인하는 반례·부분 검산이다.

절댓값으로 범위를 넓혀 다시 확인하기

같은 풀이를 기억한 것인지 구별하려면 표현만 바꾼 문제가 아니라 조건을 넓힌 문제를 다시 해결한다. 문제와 조건, 필요한 자료만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 x≠0인 실수에 대해 log₂(x²)를 log₂|x|를 이용해 나타내게 한다. x²=|x|²이고 |x|>0이므로 log₂(x²)=2log₂|x|이다. 정답은 2log₂|x|, x≠0이다. x>0이면 2log₂x, x<0이면 2log₂(−x)로 나뉘어 앞의 결과와 연결된다. x=0에서는 원래 로그와 log₂|x| 모두 정의되지 않으므로 조건을 생략할 수 없다.

마지막에는 로그 기호만 조작하지 말고 양변을 지수식으로 바꾸어 같은 값을 나타내는지 확인한다. 다음 점검에서도 진수의 양수 조건, 밑의 조건, 정의역을 먼저 표시한 뒤 식을 변형한다. 이렇게 배움노트 고등수학 수업에서 풀이를 점검하면 오답을 외워 고치는 데 그치지 않고, 왜 log₂x를 사용할 수 없는지와 언제 절댓값이 필요한지를 스스로 설명할 수 있다.