부대동 고등수학과외

내적을 곧 코사인으로 바꾼 풀이 살펴보기

기하에서 벡터의 내적과 사이각을 연결할 때는 계산값을 그대로 코사인으로 읽지 않고 벡터의 크기로 정규화해야 한다. 대표 문제는 a=(1,0), b=(1,1)의 사이각 θ(0≤θ≤π)를 구하는 것이다. 이때 이렇게 답했다면 풀이의 첫 부분은 맞을 수 있다. a·b=1이므로 cosθ=1, 따라서 θ=0이라고 적은 경우다. 성분 곱의 합으로 내적을 계산한 뒤, 그 값을 곧바로 코사인으로 둔 지점에서 조건 하나가 빠졌다.

빠진 조건을 질문과 계산으로 확인하기

배움노트 고등수학 수업에서는 오답만 보고 원인을 단정하지 않고 “내적에서 |a||b|로 나누었는가?”라고 먼저 묻는다. 학생이 내적을 성분별 곱으로 이루어진 벡터라고 생각했는지, 아니면 내적은 이미 실수라는 점은 알지만 사이각 공식의 분모를 놓쳤는지 구분하기 위해서다. 학생은 두 벡터가 모두 영벡터가 아닌지도 표시하고, a·b=1을 다시 계산한 다음 |a|=√(1²+0²)=1, |b|=√(1²+1²)=√2를 따로 적어야 한다. 내적의 정의는 a·b=|a||b|cosθ이므로, 이번 조건에서는 1=1·√2·cosθ가 된다. 따라서 cosθ=1/√2이고, 0≤θ≤π에서 θ=π/4이다. 단순히 수치를 한 번 대입해 맞추는 것이 아니라 공식의 양변을 비교해 왜 나누어야 하는지 확인하는 과정이다. b는 두 성분이 모두 양수이고 크기가 같은 제1사분면 벡터이므로 x축의 양의 방향과 이루는 각이 45°라는 해석도 계산 결과와 일치한다.

풀이를 가린 뒤 부호가 바뀐 조건에 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시를 가린 상태에서 a=(1,0), b=(−1,1)의 사이각 θ(0≤θ≤π)를 다시 구한다. 앞 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 b의 x성분을 −1로 바꾸어 내적의 부호가 달라진 실제 조건 변화다. 학생은 먼저 a·b=−1, |a|=1, |b|=√2를 각각 계산하고 cosθ=(a·b)/(|a||b|)=−1/√2를 남긴다. 코사인이 음수라는 사실만으로 각을 임의로 정하지 말고, θ의 범위에서 θ=3π/4임을 확인한다. b는 제2사분면에 놓이므로 x축 양의 방향과 이루는 기하적 각도 135°와도 맞는다. 다음 점검에서는 대표 문제의 계산 결과와 “두 벡터가 영벡터가 아니어야 한다”는 성립 조건을 각각 적게 한 뒤, 두 문제에서 내적의 부호와 크기를 따로 대조하게 한다. 같은 공식이라도 조건이 바뀌면 예각과 둔각 판단이 달라지는지 스스로 표시해야 풀이 순서가 안정된다.