산정동 고등수학과외

“진폭 3, 주기 π”라는 답에서 먼저 확인할 것

삼각함수 그래프 문제를 풀고 이렇게 답했다면, 답 하나만 보고 원인을 단정하지 않는다. 먼저 “앞의 2와 안쪽 x의 계수 3은 그래프의 어느 방향을 바꾸는가?”라고 묻고, 학생이 식의 각 부분을 직접 표시하게 한다. f(x)=2sin(3x)에서 바깥의 2는 출력값의 높이를 바꾸는 계수이고, 안쪽의 3은 x가 변할 때 각이 변하는 속도를 바꾸는 계수다. 따라서 둘을 같은 종류의 변화로 기억했는지, 주기와 진폭을 그래프의 세로·가로 방향에 적용하지 못했는지를 나누어 확인한다.

식과 그래프를 비교하며 수정 풀이 쓰기

sin x의 기본 그래프에서 출력의 최대값은 1, 최소값은 -1이다. 여기에 2를 곱하면 최대값과 최소값은 각각 2와 -2가 되어 진폭은 2가 된다. 진폭은 출력의 높이이므로 안쪽 계수 3과 구별해야 한다. 주기는 안쪽 각이 한 바퀴, 즉 2π만큼 변하는 데 필요한 x의 변화량이다. x가 T만큼 변할 때 3x는 3T만큼 변하므로 3T=2π를 세우고, 첫 비교까지만 교사가 제시한 뒤 남은 계산을 학생이 직접 적게 한다. 그러면 T=2π/3이고, 학생의 수정 풀이는 “진폭 2, 최소 양의 주기 2π/3”이 된다. 각에 별도 표시가 없으므로 라디안으로 해석하며, 그래프와 수평선의 교점을 찾는 문제라면 주어진 구간 [−2,2] 안의 해를 빠짐없이 표시해야 한다. 실제로 x가 2π/3 늘면 안쪽 각 3x가 2π 증가하므로 함수값이 반복된다. 또 출력의 최대·최소 차는 2−(−2)=4이므로 진폭 2와도 일치한다.

조건을 바꿔 다시 적용하고 마지막 결론 점검하기

풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남겨 다시 시작한다. 이번에는 사인과 탄젠트를 구별하는 조건을 추가한다. f(x)=tan(2x)의 최소 양의 주기와 정의되지 않는 x를 구하라고 하면, 각의 배율로 주기를 찾는 방법은 유지하되 탄젠트의 기본 주기는 π임을 먼저 표시한다. 2T=π에서 T=π/2를 얻고, 정의되지 않는 조건은 tan의 분모인 cos(2x)가 0이 되는 경우이므로 2x=π/2+kπ, k∈Z로 세운다. 따라서 x=π/4+kπ/2에서 정의되지 않으며, 정답은 주기 π/2, 금지값 π/4+kπ/2이다. 금지값에서는 cos(2x)=0이고, x를 π/2만큼 옮기면 탄젠트의 입력이 π만큼 증가해 같은 함수값 구조가 반복된다. 마지막 줄은 비워 두고 학생이 바른 결론과 이유를 직접 채우게 한다. 표현만 바꾼 문제인지, 사인에서 탄젠트로 함수와 정의되지 않는 조건이 실제로 바뀐 문제인지 표시하게 하며, 다음 점검에서는 주기와 진폭을 혼동할 때 입력 변화량과 출력의 높이를 각각 구해 대조하게 한다.