신가동 고등수학과외

말로는 2h라 했지만 식에는 h를 넣은 경우

미적분Ⅰ에서 미분계수의 정의를 다룰 때는 도함수 공식을 기억하는 것보다 입력이 얼마나 변했는지를 식에 정확히 반영하는 일이 먼저다. 예를 들어 f(x)=x²일 때 lim(h→0)[f(1+2h)−f(1)]/h를 구하는 상황을 생각해 보자. 이렇게 답했다면 “f′(1)=2이므로 정답은 2”라고 쓰기 쉽지만, 이 답은 처음 주어진 식의 입력 증가량과 분모를 끝까지 대조하지 않은 결과일 수 있다.

교사는 곧바로 오답 하나만 보고 원인을 정하지 않는다. “1에서 1+2h로 갈 때 입력 증가량은 h인가, 2h인가?”, “처음 적은 분모는 실제 증가량과 같은가?”, “함숫값의 차, 평균변화율, 순간변화율을 구분했는가?”라고 확인한다. 학생은 문제의 분자와 분모에 표시를 하고, f(1+2h)−f(1)이 어느 변화에 대응하는지 직접 말한 뒤 자신의 답과 처음 쓴 식을 대조한다.

미분계수의 정의로 비율을 다시 세우기

미분계수는 [f(a+h)−f(a)]/h의 h→0 극한이다. 따라서 입력이 2h라면 같은 기준을 쓰기 위해 [f(1+2h)−f(1)]/(2h)를 먼저 떠올려야 한다. 원래 식의 분모는 h이므로 주어진 비는 이 기준식에 2를 곱한 것과 같다. 즉 [f(1+2h)−f(1)]/h=2×[f(1+2h)−f(1)]/(2h)이고, 극한은 2f′(1)이다.

교사는 이 비교식을 보여 주되 계산과 답의 선택은 학생에게 남긴다. 학생이 직접 전개하면 (1+2h)²−1=4h+4h²이고, 이를 h로 나누어 4+4h를 얻는다. h→0에서 극한은 4이므로 정답은 4다. 기준식으로 구한 값에 배율 2를 반영한 결과와 직접 전개한 결과가 같고, 입력 증가량의 배율도 보존된다. 함수가 연속이라는 사실만으로 차분몫의 극한이 항상 존재한다고 말할 수 없으며, 여기서는 정의에 따른 계산과 성립 조건을 함께 확인해야 한다.

조건을 남긴 채 처음부터 다시 적용하기

다음 확인에서는 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린다. f(x)=x²일 때 lim(h→0)[f(1+h)−f(1)]/h를 구하라는 식을 보고, 학생이 입력 증가량과 분모를 먼저 표시하게 한다. 이번에는 (1+h)²−1=2h+h²=h(2+h)로 전개한 뒤 h≠0에서 2+h로 약분하고, 극한이 2임을 스스로 설명한다.

이 값은 도함수 2x에 x=1을 대입한 결과와도 일치하지만, 분자만 0으로 간다는 이유로 비의 극한을 정할 수는 없다. 같은 문제의 표현만 달라진 것인지, 입력 증가량 자체가 바뀐 것인지도 구별해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 확인 질문만 남긴 재시도에서 학생이 필요한 식을 처음부터 세우게 하고, 외운 공식으로 기본 답을 고른 경우와 달라진 조건에 근거를 들어 적용한 경우를 나누어 살핀다.

마지막에는 “두 점의 차는 무엇이며 입력 증가량은 무엇인가?”, “분모는 실제 변화량과 어떤 비율인가?”를 다시 묻는다. 학생이 문제의 조건, 전개식, 약분 가능한 범위, 극한값을 직접 표시하고 대조하면 다음 자료에서도 같은 기준으로 풀이를 시작할 수 있다.