신룡동 고등수학과외

“0뿐 아니라 1도 제곱근과 자기 자신이 같은가?”

무리방정식을 풀 때 “근호를 없애면 되나요?”라는 질문이 나오면 먼저 짧게 확인한다. “0뿐 아니라 1도 제곱근과 자기 자신이 같은가?” 이렇게 답했다면 처음 식과 대조해 보며 어떤 값이 실제로 성립하는지 살핀다. 실수 x에 대해 √(x+2)=x+2를 풀어야 하는 상황에서 x+2=0만 적어 x=−2라고 했다면, 근호 안이 정의되기 위한 조건과 제곱근의 출력이 비음수라는 조건을 각각 적용했는지 다시 묻는다. 오답 하나만으로 계산 습관의 원인을 단정하지 않고, 학생이 처음 적은 식에서 어느 부분을 근거로 그렇게 판단했는지 직접 표시하게 한다.

후보를 만든 뒤 원래 식으로 돌아가 검산하기

교사는 양변을 제곱하면 후보가 늘어날 수 있다는 점을 기준으로 설명한다. t=x+2라고 두면 먼저 t≥0이고, 식은 √t=t가 된다. 양변을 제곱하면 t=t²이므로 t(t−1)=0, 따라서 t=0 또는 t=1이다. 여기서 교사는 변형의 순서를 보여 주되 실제 계산과 답의 선택은 학생이 하게 한다. 학생이 t=0, 1을 각각 x로 되돌리면 x=−2, −1을 얻는다. 두 값을 처음 무리식에 직접 넣어 √0=0, √1=1이므로 모두 성립한다고 확인한다. 단순히 제곱한 식의 해를 답으로 옮기는 것이 아니라, 근호식의 정의 조건과 양변의 부호를 함께 대조해야 하는 이유가 드러난다. 배움노트 고등수학 수업에서도 이런 식으로 식의 변형, 후보 기록, 원식 검산을 한 흐름으로 연결하면 답을 고르는 근거가 분명해진다.

표현이 바뀐 문제에서 조건을 다시 세우기

같은 풀이를 다시 적용할 때는 문제, 실수 조건, 필요한 계산 자료만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 이번에는 실수 x에 대해 √(x+2)=x를 풀어 본다. 이전 문제와 근호 안의 식은 같지만 오른쪽이 x로 바뀌었으므로 허용되는 후보와 경계를 새로 확인해야 한다. 왼쪽이 비음수이므로 x≥0이고, 양변을 제곱하면 x+2=x², 즉 (x−2)(x+1)=0이다. 후보는 x=2, −1이지만 x≥0 조건에 따라 −1은 제외된다. 그래도 마지막에는 원래 식에 직접 대입하여 √4=2는 참, x=−1에서는 √1=1≠−1임을 확인한다. 교사의 설명을 덮은 뒤 학생이 처음 오답 x=−2를 스스로 고치고, “0뿐 아니라 1도 제곱근과 자기 자신이 같은가?”라는 질문에 근거를 들어 답하며 새 문제의 풀이와 검산까지 맞히면 다음 점검으로 넘어간다. 이후에도 제곱 뒤 얻은 값을 바로 확정하지 않고, 조건을 적고 원래 근호식에 대입하는 순서를 유지한다.