탕정지구 고등수학과외

답을 가린 상태에서 값과 기울기부터 확인하기

기본 문제의 풀이와 답을 가린 뒤, 다음 조건만 다시 확인한다. f(x)=x²(x≤1), f(x)=ax+b(x>1)일 때 x=1에서 미분가능한 실수 a,b를 구하는 문제다. 처음 이렇게 답했다면 “기울기 a=2만 맞추면 되고 b는 아무 값이나 괜찮다”고 생각했을 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 한 번의 오답만으로 원인을 정하지 않고, 먼저 “점에서 두 식의 값도 같아야 하는가?”라고 묻는다. 학생이 왼쪽 식의 함숫값과 오른쪽 식이 다가가는 값을 직접 적고, 좌우 평균변화율과 순간변화율을 구분하는지 말하게 한다.

연속 조건과 좌우 기울기를 각각 세워 대조하기

미분계수는 [f(1+h)−f(1)]/h의 h→0 극한으로 이해할 수 있다. 따라서 x=1에서 미분가능하려면 우선 연속이어야 한다. 왼쪽 식에서 f(1)=1이고, 오른쪽 식의 x가 1에 가까워질 때 값은 a+b에 가까워지므로 연속 조건은 a+b=1이다. 값이 맞는 것만으로 충분하지 않다. 왼쪽의 기울기는 x²의 도함수에 의해 2이고, 오른쪽 직선의 기울기는 a이므로 좌우 순간변화율이 같으려면 a=2여야 한다. 연속인 함수라도 좌우 기울기가 다르면 미분가능하지 않을 수 있다는 점도 함께 구별한다. 학생이 후보를 직접 골라 두 조건에 대입하면 a=2, b=−1을 얻는다. 여기서 b가 아무 값이나 될 수 없었던 이유는 점에서의 함숫값을 맞추는 조건이 따로 있기 때문이다.

수정 풀이를 가리고 다른 조건에서도 다시 적용하기

학생은 “x=1에서 두 식의 값이 같아야 하므로 1=a+b, 좌우 기울기가 같아야 하므로 2=a이다. 따라서 a=2, b=−1이다”라고 풀이를 다시 적는다. 검산할 때는 함숫값 1과 오른쪽 식의 값 2−1=1이 일치하는지, 왼쪽과 오른쪽 기울기가 각각 2인지 나누어 확인한다. 이어 문제 자료만 남기고 풀이와 정답을 가린 채 f(x)=x²(x<0), f(x)=x²+1(x≥0)가 x=0에서 미분가능한지 판단하게 한다. 이번에는 계수를 정하는 문제가 아니라 이미 정해진 조각함수의 조건을 비교하는 문제이므로 표현만 바뀐 것이 아니라 확인할 조건의 역할도 달라졌다. 왼쪽 극한은 0인데 f(0)=1이므로 먼저 불연속이다. 미분가능하면 연속이어야 하므로 미분불가능이며, 왼쪽 차분몫 (h²−1)/h도 유한한 0으로 가까워지지 않는다. 마지막으로 학생이 ‘연속 조건과 좌우 기울기 일치를 각각 확인했다’는 근거를 다시 적게 한다. 도함수 공식만 외웠다면 두 점의 함수값 차와 입력 증가량이 무엇인지 표시하게 하고, 다음 문제에서도 달라진 조건을 같은 근거로 조정해 쓰는지 점검한다.