노은동 고등수학과외

두 초점이 (−3,0), (3,0)일 때 두 초점까지 거리의 합이 4인 점이 존재하는지 먼저 살펴보자. 두 점까지의 거리 합은 삼각부등식에 따라 초점 사이 거리 6보다 작을 수 없다. 따라서 합이 4라는 조건을 만족하는 점은 존재하지 않는다. 이는 단순히 계산 결과가 이상한 것이 아니라, 주어진 조건 자체가 타원의 자취를 만들 수 없다는 뜻이다. 표준형 관계에서도 2a가 거리의 합이므로 a=2가 되고, c=3일 때 b²=a²−c²=4−9<0이다. 실수 범위에서 반축 길이를 정할 수 없다는 점이 같은 결론을 보여 준다.

거리의 합과 타원의 두 초점 조건 구분하기

이제 배움노트 고등수학 수업 수업에서 기준으로 삼을 기본 조건으로 돌아가 보자. 두 초점 (−3,0), (3,0)까지 거리의 합이 10인 점의 자취를 방정식으로 나타내는 문제다. 타원은 두 초점까지 거리의 합이 일정한 점의 모임이고, 쌍곡선은 두 초점까지 거리의 차의 절댓값이 일정한 점의 모임이다. 먼저 정의에 맞게 2a=10을 세워야 하므로 a=5이다. 초점이 x축 위에 있으므로 장축도 x축 방향이며, c=3이다.

이렇게 답했다면 식을 바로 고치기보다 “거리 합은 a인가, 2a인가?”라고 확인하게 한다. a=10이라고 둔 이유를 말하게 하고, 반축의 길이와 그 제곱값을 혼동했는지도 직접 표시하게 한다. 또한 거리의 합과 차를 바꾸었는지, 장축 방향을 잘못 정했는지 식 옆에 각각 대조 표시를 하게 한다. 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 학생이 정의와 주어진 수치를 나란히 적어 어느 단계에서 어긋났는지 확인하는 과정이 필요하다.

조건을 식으로 옮기고 수정한 풀이 확인하기

이제 2a=10, c=3을 반영한 다음 줄을 학생이 직접 잇는다. 타원의 표준형에서 초점이 x축 위에 있을 때 b²=a²−c²이므로 b²=25−9=16이다. 따라서 방정식은 x²/25+y²/16=1이다. 처음의 a=10을 그대로 사용하면 x²/100+y²/91=1이 되지만, 이는 거리 합 10을 반영한 식이 아니다. 분모 100은 올바른 a=5의 제곱인 25가 아니라, 거리 합 2a=10을 반장축 a의 값으로 잘못 사용해 얻은 결과이며, b²=91도 그 잘못된 값에서 따라 나온 것이다.

정답은 x²/25+y²/16=1이다. 부분 검산으로 꼭짓점 (5,0)을 대입하면 한 초점까지 거리는 8, 다른 초점까지 거리는 2이므로 합이 10이다. 이 확인은 한 점에서 정의와 맞는지를 살피는 검산이고, 타원 전체의 성질을 수치 하나만으로 증명한다는 뜻은 아니다. 식의 정의역과 축 방향도 함께 확인해 분모가 양수이고 장축이 x축에 놓였다는 조건을 유지한다.

표현이 아니라 조건이 바뀐 경우 다시 판단하기

기본 풀이를 본 뒤에는 문제와 초점, 거리 조건만 남기고 풀이 과정과 정답, 유도 표시를 가린 상태에서 다시 시작하게 한다. 먼저 거리 합이 10인 기본 문제를 풀고, 답을 외운 것인지 구별하기 위해 거리 합을 4로 바꾼 상황을 독립적으로 판단한다. 이는 같은 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 실제 조건이 달라진 경우다. 초점 사이 거리는 여전히 6이므로 거리 합 4는 불가능하며, 정답은 그런 점이 없다는 것이다. b²=4−9<0이라는 계산도 이 결론을 뒷받침한다. 마지막에는 처음 오답에서 a=10을 a=5로 바꿔야 한다는 결론을 식 위에 직접 표시하고, 외형이 비슷한 식을 믿기보다 꼭짓점에서 두 초점까지의 거리를 계산해 정의와 맞는지 확인하게 한다.