상대동 고등수학과외

“방정식의 두 후보에 밑 조건을 적용했는가?”라는 질문에서 계산이 멈췄다고 해 보자. 지수함수 문제는 식을 세우는 것만으로 끝나지 않고, 함수의 정의 조건과 그래프의 성질을 함께 확인해야 한다. 2022 개정 일반 선택 대수에서 다루는 지수함수의 그래프와 범위도 같은 순서로 점검한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 학생이 답을 바로 고르기보다, 어떤 조건을 사용했는지 말하고 직접 대조하도록 풀이를 정리한다.

점의 좌표를 식으로 옮기고 밑의 후보를 만들기

문제가 “a>0, a≠1인 y=a^x가 (2, 1/9)을 지난다. a와 증가·감소를 구하라”라고 주어졌다고 하자. 점의 x좌표가 2이므로 y=a²이고, y좌표가 1/9이므로 a²=1/9을 세운다. 여기서 a=±1/3을 모두 답으로 적었다면, 계산 과정에서 제곱방정식의 후보를 만든 것은 맞지만 함수의 밑 조건까지 적용한 것은 아니다. 이 오답 하나만으로 개념을 모른다고 단정할 수는 없다. “방정식의 두 후보에 밑 조건을 적용했는가?”라고 묻고, 학생이 두 값을 직접 표시해 보게 한다.

밑 조건과 그래프의 방향을 따로 확인하기

지수함수 y=a^x를 실수 전체에서 다루려면 a>0이어야 하며, a=1은 1^x=1인 상수함수이므로 증가·감소를 판단하는 지수함수의 밑에서 제외한다. 따라서 a²=1/9의 두 후보 중 -1/3은 밑 조건에 어긋나고, a=1/3만 남는다. 학생이 직접 (1/3)²=1/9을 계산해 주어진 점을 다시 확인하면, 후보 선택과 원래 조건의 대조가 이어진다. 또 0<a<1이면 x가 커질수록 출력이 작아지는 감소 관계이고, a>1이면 증가 관계다. 그러므로 a=1/3일 때 함수는 감소한다. 단순히 도표의 한 값만 보고 방향을 정하는 것이 아니라, 밑의 범위에 따른 일반 성질을 근거로 삼는다.

표현이 바뀌어도 조건을 처음부터 세우기

같은 점을 다른 말로 묻는 문제와 조건 자체가 달라진 문제를 구분해 보자. 예를 들어 “y=a^x가 고등학교에서 다루는 지수함수일 때 실수 a의 조건을 쓰고 a=1을 제외하는 이유를 설명하라”는 질문에서는 특정 점으로 밑을 구하지 않는다. 학생은 먼저 a>0을 써야 한다. 음의 밑은 일부 실수 지수에서 실수값이 정의되지 않을 수 있고, a=0은 음의 지수에서 정의되지 않는다. 이어 1^x은 언제나 1이므로 상수함수라는 점을 비교해 a≠1을 설명한다. 답은 a>0, a≠1이다. 이후 풀이와 정답을 가리고 문제·조건만 남겨 다시 시작한다. “지수함수의 밑 조건은?”과 “두 입력의 출력 순서는?”이라는 확인 질문만 제시하고, 학생이 필요한 식을 직접 세우게 한다. 밑의 후보를 답으로 쓰기 전 양수 조건과 1 제외를 표시하고, 두 입력의 출력 변화를 대조했다면 외운 답이 아니라 달라진 조건에 적용한 근거로 확인할 수 있다.