노은지구 고등수학과외

계산이 “f의 입력 중 출력 2를 만드는 값은?”이라는 질문에서 멈췄다면, 공식을 몰라서라기보다 역함수 미분의 입력을 원함수의 입력과 같은 것으로 처리했을 가능성을 먼저 살펴볼 수 있다. 미적분Ⅱ의 합성·몫·음함수·매개변수 미분을 익힐 때도 식을 바로 계산하기보다 어떤 값이 서로 대응하는지 확인하는 과정이 필요하다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 장면을 개념 이해와 조건 적용으로 나누어 확인한다.

같은 입력의 역수인지, 대응하는 원래 입력인지 확인하기

문제는 f(x)=x³+x의 역함수 g에 대하여 g′(2)를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 풀이가 1/f′(2)=1/13으로 끝났을 수 있다. 이때 먼저 “f의 입력 중 출력 2를 만드는 값은?”이라고 묻고, 학생이 후보를 직접 계산해 f(1)=1³+1=2인지 표시하게 한다. 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 역함수 미분을 단순히 같은 입력에서의 역수로 생각한 것인지, 공식을 알지만 대응하는 원래 입력을 찾지 못한 것인지 설명을 들어 구분한다.

f(a)=b이고 f′(a)≠0이면 g′(b)=1/f′(a)이다. 여기서 b=2에 대응하는 a를 먼저 찾아야 한다. f(1)=2이므로 g(2)=1이고, f′(x)=3x²+1이다. 따라서 학생은 f′(2)를 계산하기 전에 f(1)=2를 원래 조건과 대조해야 한다. f′(x)>0이므로 f는 실수 전체에서 엄격히 증가하여 역함수가 존재하고, 특히 f′(1)=4≠0이므로 해당 지점에서 공식을 적용할 수 있다.

학생이 수정한 풀이와 합성함수 검산

학생이 직접 다시 풀면 f′(x)=3x²+1>0이므로 역함수가 존재한다. f(1)=2이므로 g(2)=1이고, g′(2)=1/f′(1)=1/4이다. 정답은 1/4이다. 수치 대입만으로 끝내지 않고 f(g(y))=y를 미분한 f′(g(y))g′(y)=1에 y=2를 대입한다. g(2)=1이므로 f′(1)g′(2)=4×1/4=1이 되어 계산이 주어진 관계와 맞는지 확인할 수 있다. 이렇게 대응값을 찾는 단계와 미분계수를 계산하는 단계를 분리하면, 공식은 알고 있지만 적용 지점을 혼동하는 문제를 구체적으로 고칠 수 있다.

조건을 바꾸었을 때 공식의 적용 가능성 판단하기

풀이와 정답을 가린 뒤에는 문제와 조건만 남겨 두고 독립적으로 다시 시작한다. 이번에는 f(x)=x³의 실수 전체에서의 역함수를 g라 할 때 g가 x=0에서 유한한 미분계수를 갖는지 판단한다. 원함수는 실수 전체에서 역함수를 가지며 g(x)=∛x이다. 그러나 역함수의 존재와 미분가능성은 별개다. f′(0)=0이므로 1/f′(0)을 수로 계산하는 공식은 적용할 수 없다.

학생은 직접 차분몫을 세워 [g(h)−g(0)]/h=∛h/h=1/(∛h)²(h≠0)임을 확인한다. h가 0으로 가까워질 때 이 값은 양의 무한대로 커지므로 g는 x=0에서 유한한 미분계수를 갖지 않는다. 표현만 바뀐 문제와 실제 조건이 바뀐 문제를 구별하려면, 먼저 f(a)=b를 풀어 대응하는 a를 찾고 f′(a)≠0인지 확인해야 한다. 처음 예시의 오답을 스스로 고친 뒤 이 판단까지 설명할 수 있을 때, 다음 점검에서는 대응값과 성립 조건을 빠뜨리지 않았는지 다시 확인한다.