하남지구 고등수학과외

같은 완전제곱식이라도 축이 허용된 구간 안에 있느냐에 따라 결론은 달라진다. 기본 문제는 $f(x)=(x-a)^2$에서 $0\le x\le1$일 때의 최솟값을 묻는다. 반면 비교할 문제는 $f(x)=x^2-2x+k$의 구간 $[0,2]$에서 최솟값이 3일 때 $k$를 구하는 경우다. 두 식 모두 꼭짓점을 먼저 찾지만, 그 점을 실제로 선택할 수 있는지 확인하는 과정이 핵심이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 매개변수의 위치와 정의역을 한 수직선에 놓고 결론이 바뀌는 지점을 직접 표시하게 한다.

허용 범위와 꼭짓점의 위치를 나란히 확인하기

$f(x)=(x-a)^2$의 꼭짓점은 $x=a$, 함수값은 0이다. 그러나 정의역이 $0\le x\le1$이므로 $a$가 이 구간 안에 있을 때만 꼭짓점에서 값을 얻을 수 있다. $a<0$이면 $x=a$를 선택할 수 있는가? $a>1$이면 어떤가? 이 질문에 “선택할 수 없다”고 답했다면, 이제 허용된 구간에서 $a$와 가장 가까운 끝점을 찾아야 한다. 반대로 $0\le a\le1$이면 꼭짓점이 정의역에 포함되므로 최솟값은 0이다. 축의 위치가 구간의 왼쪽, 안쪽, 오른쪽 중 어디인지에 따라 비교할 후보가 달라진다.

모든 경우를 0으로 둔 오답의 원인 나누기

“모든 $a$에서 최솟값은 0”이라고 답했다면, 이 한 문장만으로 꼭짓점 계산을 틀렸다고 단정할 수 없다. 먼저 학생이 $(x-a)^2$의 꼭짓점 $x=a$를 제대로 찾았는지 확인하고, 다음으로 그 점이 정의역에 포함되는지 물어본다. $a<0$ 또는 $a>1$일 때 $x=a$를 고를 수 있는지, 구간의 양 끝 $x=0,1$에서 각각 어떤 값이 나오는지 직접 계산해 표시하게 한다. 꼭짓점은 찾았지만 정의역 후보를 빠뜨린 것인지, 끝점 비교 자체가 막힌 것인지 구분해야 한다. 학생은 축과 구간의 위치를 그린 뒤 필요한 함숫값을 대조하고, 왜 해당 후보가 최솟값을 주는지 문장으로 정리한다.

끝점 비교에서 조건을 식으로 연결하기

$a<0$이면 허용된 $x$ 중 $a$에 가장 가까운 값은 $x=0$이므로 최솟값은 $f(0)=a^2$이다. $0\le a\le1$이면 $x=a$에서 $f(a)=0$이다. $a>1$이면 가장 가까운 허용점이 $x=1$이므로 최솟값은 $f(1)=(1-a)^2$이다. 따라서 정답은 $a<0$에서 $a^2$, $0\le a\le1$에서 0, $a>1$에서 $(1-a)^2$이다. 이는 거리 $|x-a|$가 가장 작은 허용 $x$를 고른 결과다. $a=0,1$을 대입하면 양쪽 식이 모두 0으로 이어져 경계 조건도 확인된다.

이 방법을 $f(x)=x^2-2x+k$, $0\le x\le2$에 다시 적용해 보자. 식을 $f(x)=(x-1)^2+k-1$로 고치면 꼭짓점 $x=1$은 구간 안에 있다. 따라서 최솟값은 $k-1$이고, 이것이 3이므로 $k=4$이다. 실제로 $f(x)=(x-1)^2+3\ge3$이며 $x=1$에서 정확히 3이 된다.

마지막에는 대표 식 $f(x)=(x-a)^2$, 범위 $0\le x\le1$, 매개변수 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린 채 다시 시작한다. 학생이 “$a<0$ 또는 $a>1$이면 $x=a$를 선택할 수 있는가?”에 근거로 답하고, 세 경우의 수정 풀이를 스스로 쓰는지 확인한다. 표현만 바꾼 문제와 실제 정의역이 달라진 문제를 구별하며, 다음에는 꼭짓점을 답으로 쓰기 전에 축과 구간의 위치를 먼저 표시한다.