두정생활권 고등수학과외

정답 숫자만 맞힌 답안보다 근의 합에 붙은 부호의 근거가 비어 있는 답안을 먼저 살핀다. 예를 들어 “x²+5x+6=0의 두 근을 α, β라 할 때 α+β와 αβ를 구하라”는 문제에서 이렇게 답했다면 어떨까. α+β=5, αβ=6. 곱 6은 맞지만 합의 부호는 주어진 식과 맞지 않는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만 보고 암기 부족이라고 단정하지 않고, 어떤 비교가 생략되었는지부터 확인한다.

오답의 부호를 식과 직접 대조하기

먼저 학생에게 “(x−α)(x−β)를 전개했을 때 x의 계수는 어떤 부호인가?”라고 묻는다. 전개하면 x²−(α+β)x+αβ가 되므로, 주어진 x²+5x+6과 비교할 때 −(α+β)=5, αβ=6이어야 한다. 여기서 합을 5라고 쓴 이유가 근과 계수의 관계를 거꾸로 기억한 것인지, 합과 곱은 알고 있지만 계수 비교에서 부호를 빠뜨린 것인지 구분한다. 학생이 직접 괄호를 전개해 x의 계수에 표시하고, 주어진 식의 5와 나란히 대조하게 한다. 판별식이나 근의 조건을 함께 확인해야 하는 문제라면 먼저 실근 여부와 정의된 식의 조건도 적어 두되, 현재 문제에서는 실제 인수분해로 근을 확인할 수 있다.

한 단계만 제시하고 수정 풀이 완성하기

교사는 전체 풀이를 대신 쓰지 않고 x²−(α+β)x+αβ와 주어진 식을 비교하는 첫 단계까지만 제시한다. 학생은 −(α+β)=5, αβ=6을 직접 적고, 첫 식의 양변에 −1을 곱해 α+β=−5를 완성한다. 따라서 정답은 α+β=−5, αβ=6이다. 검산은 (x+2)(x+3)=0으로 인수분해해 두 근이 −2, −3임을 확인하는 방식으로 진행한다. 실제 근의 합은 −5, 곱은 6이므로 계수 비교와 인수분해 결과가 모두 일치한다. 이 과정에서 역수의 합이나 제곱합을 묻는 문제라면 두 근이 0이 아닌지, 필요한 분모가 성립하는지도 먼저 확인해야 한다.

표현을 바꿔도 같은 관계를 다시 적용하기

다음에는 식과 조건만 남긴 독립 문제로 시작한다. “x²−3x+1=0의 두 근 α, β에 대해 α²+β²을 구하라”를 제시하고 풀이와 정답은 가린다. 학생은 먼저 α+β=3, αβ=1을 구한 뒤, α²+β²=(α+β)²−2αβ를 적어 3²−2·1=7을 계산한다. 정답은 7이다. 부분 검산으로는 각 근이 α²=3α−1, β²=3β−1을 만족하므로 두 식을 더해 α²+β²=3(α+β)−2=7임을 대조할 수 있다. 단순히 같은 문제의 숫자나 표현만 바꾼 것과, 요구식 자체를 제곱합으로 바꾼 것은 구별해야 한다. 다음 점검에서는 대표 식·범위·필수 자료만 남기고 풀이와 정답을 가린 뒤, x의 계수 부호를 설명하고 필요한 식을 스스로 만들 수 있는지 확인한다. 만들지 못하면 통분이나 제곱 전개를 먼저 적고, 마지막에 합과 곱의 값을 대입하게 한다.