성성동 고등수학과외

오답에서 사라진 조건 찾기

“lim(x→0) sin(2x)/(3x)를 구하라. x는 라디안이며 lim(u→0) sin u/u=1이다.”라는 문제를 보자. 이렇게 답했다면 학생의 오답은 2이다. 분자 안의 2만 보고 결과를 정한 셈이지만, 문제에는 분모의 3도 함께 들어 있다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 먼저 “각의 단위를 라디안으로 읽었는가?”, “분자의 각이 2x라는 점을 확인했는가?”, “분모의 3x까지 함께 비교했는가?”라고 묻는다. 이 단원의 기본 극한과 미분에서 각은 라디안이어야 하며, 단위가 달라지면 같은 계산을 그대로 적용할 수 없다.

기본 극한의 모양에 맞춰 수정하기

학생이 문제의 식에 표시하면서 분자의 2x와 분모의 3x를 따로 확인하게 한다. 합각정리는 두 각의 사인과 코사인을 곱과 합으로 나타내는 식이지, 함수값을 단순히 더하는 규칙이 아니다. 이 문제에서는 합각정리를 억지로 적용할 필요 없이, 기본 극한의 모양을 먼저 만든다. 식을 (2/3)·sin(2x)/(2x)로 분리하면 x가 0으로 갈 때 2x도 0으로 가고, 주어진 기본 극한에 따라 sin(2x)/(2x)의 극한은 1이다. 여기서 교사는 마지막 결론을 바로 말하지 않고, 학생이 남은 인자와 기본 극한의 값을 직접 적게 한다. 학생이 수정한 풀이는 “lim(x→0) sin(2x)/(3x) = (2/3)·lim(x→0) sin(2x)/(2x) = 2/3”이다. 전체 분모가 3배가 되면 같은 분자의 극한비가 1/3배가 된다는 점으로도 부분 검산할 수 있다. 따라서 정답은 2/3이며, 라디안 조건과 x→0이라는 조건 안에서 성립한다.

표현이 바뀐 문제에서 다시 확인하기

이번에는 문제와 조건만 남기고 풀이식, 정답, 유도 표시는 가린다. “lim(x→0) sin(3x)/x를 구하라. x는 라디안이고 lim(u→0) sin u/u=1이다.”를 제시한 뒤 학생이 분자의 각과 분모의 배율을 직접 표시하게 한다. 앞 문제의 식을 단순히 표현만 바꾼 것이 아니라 분모의 배율 조건이 달라졌으므로 결과도 다시 판단해야 한다. 학생은 3·sin(3x)/(3x)로 바꾸고, 기본 극한에 남은 인자 3을 곱해 극한을 3으로 계산한다. sin(3x)의 x=0에서의 미분계수 3cos0=3과 대조하면 결과가 일치한다. 이처럼 배움노트 고등수학 수업에서는 풀이 순서를 외우는지보다 조건을 표시하고, 기본 극한의 분자·분모 모양을 맞춘 뒤 남은 인자의 극한을 따로 계산하는지를 살핀다. 바로 대입해 막히더라도 라디안 여부, 안쪽 계수, 분모 배율을 차례로 다시 표시하면 다음 문제에 같은 판단을 옮길 수 있다.