성정동 고등수학과외

절댓값이 포함된 방정식에서는 계산을 서두르기보다 부호에 따라 식이 어떻게 달라지는지 먼저 확인해야 한다. 예를 들어 실수 x에 대해 |x|=x+2를 풀 때, 이렇게 답했다면 “x는 0 이상이라고 보고 |x|=x이므로 x=x+2, 따라서 해 없음”이라는 결론에 이르게 된다. 하지만 이 결과와 원식에 대입한 검산은 서로 맞지 않는다. x=-1을 넣으면 왼쪽은 |-1|=1, 오른쪽도 -1+2=1이 되어 등식이 성립하기 때문이다. 예시 오답과 검산 결과를 나란히 놓으면, 한 구간만 조사한 것이 문제의 핵심임을 확인할 수 있다.

“x<0에서는 |x|가 어떻게 바뀌는가?”를 먼저 묻기

배움노트 고등수학 수업에서는 오답을 곧바로 개념 부족으로 단정하지 않고 확인 질문부터 이어 간다. “x<0에서는 |x|가 어떻게 바뀌는가?”라는 질문에 학생이 수직선에서 0까지의 거리를 직접 표시하게 한다. 절댓값은 방향이 아니라 거리를 나타내므로 음수 x의 절댓값은 -x이다. 이때 확인할 것은 두 가지다. 거리라는 뜻 자체를 이해하지 못한 것인지, 아니면 안쪽 식 x의 부호가 바뀌는 경계를 잘못 잡은 것인지 구분해야 한다. 학생은 수직선에서 0의 왼쪽과 오른쪽을 나누어 표시하고, 각 구간에서 |x|에 들어갈 식을 직접 적는다.

두 부호 구간을 조건과 함께 끝까지 비교하기

x≥0에서는 |x|=x이므로 x=x+2가 되고, 양변에서 x를 없애면 0=2라는 모순이 생긴다. 따라서 이 구간에는 해가 없다. 그러나 여기서 멈추면 처음 오답과 같아진다. x<0에서는 |x|=-x를 넣어 -x=x+2로 고친다. 양변을 정리하면 -2x=2, x=-1을 얻으며, 이 값은 실제로 x<0이라는 구간 조건에 맞는다. 그러므로 해는 -1이다. 마지막으로 원식에 x=-1을 대입해 왼쪽 1과 오른쪽 1을 비교한다. 이 대입은 일반적인 풀이를 대신하는 것이 아니라, 얻은 해가 원래 조건을 만족하는지 확인하는 부분 검산이다. 두 구간을 모두 조사해야 해가 누락되지 않는다.

표현이 달라진 문제에서 경계와 전체 구간을 다시 표시하기

풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남겨 두고, 먼저 경계값 x=0을 표시하게 한다. 이어 실수 x에 대해 |x|=x를 독립적으로 풀어 본다. x≥0에서는 |x|=x이므로 식이 구간 전체에서 성립한다. x<0에서는 |x|=-x이므로 -x=x, 즉 x=0을 얻지만 이 값은 x<0에 포함되지 않는다. 따라서 정답은 x≥0이고, 경계 0도 직접 확인해야 한다. 앞 문제와 같은 경우 나누기는 유지되지만 오른쪽 식이 달라져 한 구간 전체가 해가 될 수 있다는 점이 다르다. 학생은 “부호에 따른 표현은 같고, 각 구간에서 등식이 성립하는 방식이 달라졌다”라고 한 문장으로 적는다. 한 방향만 남긴다면 수직선에서 0을 중심으로 양쪽에 같은 거리를 표시하고, 어느 쪽이 조건에 맞는지 식과 대조한다. 이후에는 경계값과 제외 조건을 먼저 표시한 뒤 계산을 시작하게 하여, 해의 모양과 조건을 함께 점검한다.