백석지구 고등수학과외

“f′(x)=x e^(x−1)”이라는 답에서 먼저 물어볼 것

미적분Ⅱ에서 지수·로그함수의 극한과 미분을 다룰 때는 계산 규칙을 외우기 전에 문자의 위치를 살펴야 한다. 실수 x에서 f(x)=eˣ의 도함수를 구하는 예시에서 학생이 “f′(x)=x e^(x−1)”이라고 답했다면, 이 한 줄만으로 원인을 단정하지 않는다. 먼저 “x가 밑인 xⁿ과 지수인 eˣ는 같은 형태인가?”라고 묻고, 식에서 x가 밑인지 지수인지 직접 표시하게 한다. xⁿ은 밑이 x이고 지수가 자연수 n인 거듭제곱함수인 반면, eˣ는 밑이 일정한 e이고 지수가 x인 지수함수다. 두 식의 모양이 다르다는 점을 말로 설명하고, 자신이 사용한 미분 규칙의 대상과 주어진 함수가 일치하는지 대조하게 한다.

차이를 극한으로 확인하고 수정 풀이를 직접 적기

지수함수의 기본 미분은 밑에 따라 계수가 달라진다. a>0일 때 aˣ의 도함수는 aˣ ln a이고, 특히 밑이 e이면 ln e=1이므로 (eˣ)′=eˣ이다. 이 결론이 어디서 나오는지 확인할 때는 차분몫을 쓴다. [e^(x+h)−eˣ]/h=eˣ(eʰ−1)/h로 나누어 보면, h가 0으로 갈 때 기본 극한 (eʰ−1)/h→1을 적용할 수 있다. 첫 비교까지만 제시한 뒤 나머지 계산은 학생이 직접 적게 한다. 로그의 성질을 이용해 aˣ=e^(x ln a)로 바꾸는 방법도 함께 비교하되, ln x의 도함수 1/x는 x>0에서만 성립하므로 로그의 정의역을 놓치지 않게 한다. 이렇게 답했다면 학생은 원래 풀이를 지우기보다 f′(x)=eˣ이라고 다시 쓰고, 함수의 정의역인 모든 실수에서 식이 성립하는지 확인한다.

값을 대입해 보고, 조건을 남긴 채 다시 적용하기

수정한 답은 f′(x)=eˣ이다. x=0에서 실제 미분계수는 e⁰=1인데, 처음 오답 x e^(x−1)은 0이 되므로 적어도 이 점에서 정답과 일치하지 않는다. 이 대입은 전체 식을 증명하는 대신 오답을 빠르게 점검하는 반례로 사용한다. 이후 문제와 필요한 수치는 그대로 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 학생이 먼저 밑과 지수를 구분한 뒤, “e를 밑으로 하는 경우에는 ln e 계수가 1이다”라고 말하고 계산을 스스로 완성하는지 살핀다.

같은 미분법을 다른 밑에도 적용해 본다. 실수 x에서 f(x)=2ˣ의 도함수를 구할 때 2ˣ=e^(x ln2)로 바꾸면 안쪽 함수의 미분 ln2가 남아 f′(x)=2ˣ ln2가 된다. 따라서 정답은 2ˣ ln2이고, ln2>0이므로 도함수의 부호가 양수라는 사실은 그래프가 증가한다는 성질과 맞는다. 표현만 바꾼 경우와 밑 자체가 바뀐 경우를 구별하고, 다음 점검에서도 문제·조건·필요한 수치만 남긴 채 해설을 가린다. 배움노트 고등수학 수업에서는 학생이 문자의 역할, 정의역, 계수의 유무를 차례로 표시하며 스스로 검산하도록 연결한다.