덕진구 중등수학과외

나누는 조건에서 먼저 확인한 질문

학생에게 먼저 다음 문제를 제시했다. “72를 자연수 n으로 나눈 몫이 자연수이면서 완전제곱수가 되게 하려면 가장 작은 n은 무엇일까?” 학생은 바로 계산하지 않고 72를 소인수분해한 뒤 지수의 홀짝을 살펴야 한다는 점을 말해야 했다. 교사는 “72의 어떤 소수 지수를 줄여야 몫이 제곱수가 될까?”라고 물었다. 학생은 72를 2³×3²로 나타내고, 2의 지수 3이 홀수라는 점을 표시했다.

덕진구중등수학과외 수업에서는 학생이 소수의 값 자체와 지수의 홀짝을 구분해 적는지를 중요하게 확인했다. 제곱수에서는 같은 소수가 두 묶음에 같은 개수로 들어가야 하므로 각 소수의 지수가 짝수여야 한다. 학생은 2를 한 번 나누면 2²×3²이 되어 36이 된다고 설명했다. 따라서 이 문제의 답은 n=2이다. 실제로 72÷2=36=6²이고, n=1이면 몫이 72라서 완전제곱수가 되지 않는다.

9=3×3에서 값과 지수를 나누어 보기

교사는 학생의 판단을 더 좁혀 보기 위해 “9=3×3은 제곱수인가?”라고 짧게 물었다. 학생은 “맞다”고 답했지만, 처음에는 “3이 홀수 소수이므로 제곱수가 아니다”라고 말할 가능성이 있었다. 이때 교사는 소수 3의 값이 홀수인지 묻지 않고, 3이 몇 번 곱해졌는지를 손가락으로 짚었다. 학생은 9=3²로 다시 쓰며 지수 2가 짝수이기 때문에 제곱수라고 설명했다.

이 질문과 계산 줄을 함께 확인하면, 학생이 소인수분해 자체를 못하는지 또는 소수 값의 홀짝과 지수의 홀짝을 섞어 판단하는지 구분할 수 있다. 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고, 9의 구조를 말하게 한 뒤 72의 구조로 돌아갔다. 교사는 “소수 값이 아니라 무엇을 세어야 하지?”라고 다시 물었고, 학생은 “각 소수가 몇 번 등장하는지, 즉 지수의 홀짝을 본다”고 답했다.

72에 곱하는 대표 문제를 직접 수정하기

이제 대표 문항을 제시했다. “72에 자연수 n을 곱해 완전제곱수를 만들려고 한다. 가장 작은 n과 그때의 제곱수를 구하라.” 학생의 처음 답안은 ‘3이 홀수 소수이므로 n=3’이었다. 3을 선택한 이유를 묻자 학생은 72에 3을 곱하면 3의 개수가 늘어난다고 설명했지만, 2의 지수가 여전히 홀수라는 점은 확인하지 않았다.

교사는 전체 풀이를 대신 쓰지 않고, “72를 소인수의 지수로 다시 적어 보자”라고 요청했다. 학생은 출발식을 72=2³×3²로 적었다. 이어 교사가 “어느 지수를 짝수로 바꾸어야 하지?”라고 묻자 학생은 2의 지수 3에 1을 더해야 한다고 판단했다. 학생이 직접 완성한 수정 풀이는 다음과 같다. 72=2³×3²이고, 2를 더 곱하면 2⁴×3²=144=12²이다. 따라서 가장 작은 자연수는 n=2이다. 처음 풀이와 달리 소수 3을 고른 것이 아니라, 홀수 지수인 2³을 짝수 지수로 바꾸었다.

곱셈 검산과 새 조건의 적용

검산은 같은 소인수분해 계산을 반복하지 않도록 곱셈 결과와 제곱수 사이의 위치를 함께 확인했다. 학생은 72×2=144=12×12라고 대입해 수정 답을 확인했다. 또 n=1일 때는 72가 완전제곱수인지 살폈다. 8²=64, 9²=81이므로 64<72<81이고, 72는 제곱수가 아니다. 따라서 2보다 작은 자연수로는 조건을 만족할 수 없다는 점까지 확인했다.

곱하는 문제와 조건을 바꾸어 같은 기준을 적용해 보았다. “72를 자연수 n으로 나눈 몫이 자연수이면서 완전제곱수가 되게 하라”는 문제에서는 지수를 늘리는 대신 줄여야 한다. 72=2³×3²에서 2로 한 번 나누면 2²×3²=36=6²이 된다. 따라서 가장 작은 n은 2이며, 72÷2=36으로 조건을 확인할 수 있다. 다음 문제에서는 학생이 대표 문제와 바뀐 조건을 구분하고, 소수 값 대신 지수의 홀짝을 먼저 표시한 뒤 이유까지 도움 없이 말하는지 확인한다.