신창동 고등수학과외

한쪽 조건만 남긴 오답에서 시작하기

2022 개정 공통수학1에서 절댓값이 포함된 방정식·부등식을 다룰 때는 계산보다 먼저 절댓값이 나타내는 거리를 확인해야 한다. 대표적으로 실수 x에 대해 |x+1|<2를 풀어 보자. 이렇게 답했다면 어떨까? x+1<2만 적어 x<1이라고 결론 내리는 경우다. 이 식은 오른쪽 경계만 남긴 것이어서 −1보다 왼쪽에 있는 수를 제대로 걸러 내지 못한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답을 곧바로 개념 부족이라고 단정하지 않고, 어느 판단이 빠졌는지 질문으로 확인한다.

거리의 두 방향과 경계를 식으로 바꾸기

먼저 학생에게 “−1에서 너무 왼쪽인 x=−5도 허용되는가?”라고 묻는다. x=−5를 대입하면 |−5+1|=4이므로 2보다 작지 않다. 이는 한쪽 부등식만으로는 원래 조건을 대신할 수 없다는 반례가 된다. 이어 −1은 기준점이고, |x+1|은 x와 −1 사이의 거리라고 수직선에 표시하게 한다. 거리가 2보다 작다는 말은 기준점에서 양쪽으로 2만큼 이내라는 뜻이므로, 왼쪽 경계와 오른쪽 경계를 함께 적어 −2<x+1<2로 나타낸다. 여기서 ‘작다’는 경계에 닿지 않는다는 의미이므로 등호가 들어가지 않는다. 학생이 다음 계산을 직접 이어 가도록 각 변에서 1을 빼 보게 하면 −3<x<1을 얻는다. 따라서 정답은 (−3,1)이다. 양 끝 x=−3, 1에서는 각각 거리가 2가 되어 제외되고, 구간 밖에서는 거리가 2 이상이므로 원래 조건과 일치한다.

표현을 바꿔도 조건을 다시 판단하기

같은 풀이를 기억했는지만 확인하지 않기 위해 문제와 조건만 적힌 새 종이를 준비한다. 실수 x에 대해 |x+1|≥2를 풀라는 내용과 수직선, 필기도구만 남기고 풀이 과정·정답·유도 표시는 가린 상태에서 먼저 혼자 시작하게 한다. 이번에는 안쪽 구간이 아니라 바깥쪽 구간을 묻는 조건이며, 기준점 −1에서의 거리가 2 이상이다. 학생은 x+1≤−2 또는 x+1≥2로 두 경우를 나누고, 각 부등식에서 1을 빼 x≤−3 또는 x≥1을 얻어야 한다. 정답은 (−∞,−3]∪[1,∞)이다. 여기서는 ‘이상’이므로 두 끝점에서 거리가 정확히 2인 경우가 포함된다. 기본 문제의 답을 외워 적용한 것인지 구별하려면 풀이 전 양쪽 구간을 먼저 표시하고, 풀이 후 x=−1, x=−3, x=1을 대조하게 한다. 한 방향만 남겼다면 중심의 양쪽에 같은 거리를 직접 표시하며 빠진 조건을 식으로 고쳐 쓰게 한다. 이렇게 안쪽과 바깥쪽, 경계의 포함 여부를 차례로 확인하면 표현이 달라져도 거리의 뜻에서 풀이를 다시 세울 수 있다.