봉무동 고등수학과외

“f(1)=0을 세워 a=1.” 이렇게 답했다면 먼저 계산보다 조건의 뜻을 다시 읽어야 한다. 문제는 f(1)의 값이 0이라고 한 것이 아니라, 함수 f(x)=x³−ax가 x=1에서 극소를 갖는다고 했다. 배움노트 고등수학 수업에서는 한 줄의 오답을 곧바로 개념 부족으로 단정하지 않고, 어떤 조건을 함수값으로 바꾸어 읽었는지부터 확인한다.

극값 조건에서 0이 되는 대상을 구별하기

x=1이 실수 전체에서 정의된 함수의 내부점이라면, 미분 가능한 함수가 그 점에서 극값을 가질 때 필요한 조건은 f(1)=0이 아니라 f′(1)=0이다. 따라서 확인 질문은 “극값 후보에서 0이어야 하는 것은 함수인가 도함수인가?”이다. 학생이 f(1), f′(1)을 직접 나란히 적고 각각이 뜻하는 바를 말하게 하면 두 조건의 차이를 눈으로 확인할 수 있다.

이 문제에서 f′(x)=3x²−a이므로 극소 조건에 필요한 첫 비교는 f′(1)=3−a=0이다. 여기서 바로 답을 끝내지 않고, 이 식이 극소의 필요조건만 제공한다는 점을 표시한다. 구간의 최댓값·최솟값을 묻는 문제라면 도함수가 0인 점만 보는 것이 아니라 허용된 내부 후보와 구간의 끝값을 함께 비교해야 한다. 끝점은 미분계수 조건으로 처리할 수 없으므로 정의역과 구간도 풀이 옆에 남겨야 한다.

부호 변화까지 적어 극소임을 확인하기

학생이 첫 식을 다시 써서 a=3을 얻었다면, 이제 f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)로 정리한다. x=1의 왼쪽에서는 도함수가 음수이고 오른쪽에서는 양수이므로 함수는 1의 왼쪽에서 감소하다가 오른쪽에서 증가한다. 따라서 x=1에서 극소라는 조건이 실제로 성립한다. 단순히 도함수가 0이라는 사실만으로 극값이라고 말하지 않고, 부호표에서 −에서 +로 바뀌는지를 확인한 결과다.

이때 학생이 직접 부호표를 그리고, x=1을 기준으로 양옆의 부호를 표시한 뒤 원래 함수의 변화 방향과 대조하게 한다. “a=3”이라는 값만 맞힌 것과 “a=3이고 x=1에서 극소”라는 조건까지 설명한 것은 다르다. 배움노트 고등수학 수업에서는 필요한 식, 부호 변화, 결론을 각각 연결해 쓰는지 확인한다.

표현이 바뀐 문제에서 조건을 다시 적용하기

같은 식이라도 조건이 f(1)=0으로 바뀌면 풀이의 출발점이 달라진다. f(1)=1−a=0에서 a=1을 먼저 구한다. 그러나 이 값이 x=1에서 극값이라는 뜻은 아니다. f′(1)=3−1=2≠0이므로 x=1은 극값점이 아니다. 실제로 f′(x)=3x²−1은 x=1의 충분히 가까운 주변에서 양수이므로 그 주변에서 함수는 계속 증가한다. 즉 f(1)=0은 함숫값에 대한 조건이고, 극값 여부는 도함수와 그 부호 변화로 판단한다.

다음 점검에서는 문제의 식과 정의역·구간 같은 필수 조건만 남기고 풀이와 정답, 부호 유도 표시는 가린다. 학생은 먼저 “0이 되는 대상”을 고른 근거를 쓰고, 필요조건을 세운 뒤 극값 여부를 다시 확인한다. 도함수가 0인 점과 극값을 혼동한다면 도함수 부호표와 실제 함수값의 높이를 따로 그려 두 조건을 대조한다. 이렇게 해야 표현만 바뀐 문제와 조건 자체가 바뀐 문제를 구별해 같은 풀이를 정확히 재적용할 수 있다.