신서동 고등수학과외

곱의 순서가 바뀌면 먼저 정의 여부부터 판단하기

곱의 순서를 바꾼 식에서 결과를 바로 계산하려 하면 크기 판단이 흔들릴 수 있다. A=[[1,2],[0,1]], B=[[3],[4]]일 때 BA가 정의되는지 묻는 경우, 곱의 크기를 (2×1)(2×2)로 표시해 보자. 행렬 곱은 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같아야 하므로 안쪽 수 1과 2가 다르다. 따라서 BA는 정의되지 않는다. 각 성분을 만들 행과 열의 길이가 달라 대응되는 곱의 합을 구성할 수 없기 때문이다. 이는 단순히 계산 실수가 아니라 곱셈의 성립 조건을 확인하지 않은 경우다.

기본 식으로 돌아가 행과 열의 대응 확인하기

기준을 세우기 위해 같은 행렬의 곱 AB를 다시 살펴본다. A는 2×2, B는 2×1이므로 (2×2)(2×1)에서 가운데의 2가 일치하고, 바깥의 2×1이 결과의 크기가 된다. 학생이 “A의 열이 2개이므로 AB도 2×2”라고 답했다면, 그 결론을 바로 틀렸다고 고치기보다 “A의 열 수와 B의 행 수, 결과의 행·열 수는 각각 무엇인가?”라고 묻는다. 행과 열의 위치를 바꿔 읽는지, 행렬 곱을 같은 위치의 성분끼리 곱하는 방식으로 이해하는지 확인하기 위해 각 숫자에 행·열 표시를 직접 하게 한다.

그다음 첫 번째 결과 성분은 A의 첫째 행과 B의 열을 대응시켜 1·3+2·4=11로 계산한다. 두 번째 성분은 A의 둘째 행과 B의 열을 사용해 0·3+1·4=4가 된다. 따라서 AB=[[11],[4]]인 2×1 행렬이다. B의 열은 하나이고 A의 행은 두 개이므로 출력 성분도 두 개라는 점을 결과의 모양과 대조한다. 원래 식의 크기와 계산 결과가 서로 맞는지 확인하면, 단순히 답을 외우는 대신 크기 조건이 계산을 이끈다는 기준을 세울 수 있다.

조건을 남긴 상태에서 직접 다시 적용하기

풀이와 정답을 가린 뒤에는 문제와 행렬만 남겨 두고 BA가 정의되는지 다시 판단하게 한다. 먼저 (2×1)(2×2)를 쓰고 안쪽 크기 1과 2를 표시한 다음, 서로 다르므로 BA는 정의되지 않는다고 식으로 결론을 적는다. 이때 AB의 답을 기억해 적는 것과 새로운 순서의 조건을 판단하는 것은 다르다. 같은 숫자라도 곱의 순서가 달라지면 정의 여부와 결과의 크기가 달라진다.

곱의 위치가 다시 흔들리면 전체 계산을 반복하기보다 앞 행렬에서 한 행, 뒤 행렬에서 한 열을 선택할 수 있는지 먼저 표시한다. 선택한 행과 열의 길이가 같아야 한 성분을 만들 수 있다는 점을 확인한 뒤, 나머지 성분으로 범위를 넓힌다. 배움노트 고등수학 수업에서 행렬 곱을 다룰 때도 이 순서를 유지하면, 기본 문제의 결과를 외운 것이 아니라 안쪽 크기 일치와 바깥 크기 결정이라는 조건으로 새로운 식을 설명하고 검산할 수 있다.