지묘동 고등수학과외

미적분Ⅱ에서 합성·몫·음함수·매개변수의 미분을 다룰 때는 정답보다 식이 왜 그렇게 바뀌는지 설명하는 과정이 중요하다. 다음과 같은 답안을 먼저 살펴보자. 원 x²+y²=25 위의 점 (3,4)에서 접선의 기울기를 구하는 문제에서 “2x+2y=0이다. 점을 대입하면 6+8≠0이므로 미분할 수 없다”라고 썼다면, 마지막 결론만 고치는 것으로는 충분하지 않다. 어떤 식을 미분했는지, 주어진 점이 원 위에 있는지, y가 x에 따라 변하는 양인지 차례로 확인해야 한다.

y를 상수처럼 본 것인지 먼저 확인하기

배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고 확인 질문을 먼저 둔다. “y는 x에 따라 변하는 함수로 미분했는가?”라고 묻고, 학생이 원식에 점 (3,4)를 대입해 3²+4²=25인지 직접 표시하게 한다. 점이 원 위에 있다는 사실과 미분이 불가능하다는 결론은 서로 다른 문제다. x²을 x로 미분하면 2x가 되지만, y²도 y가 x에 따라 달라지므로 2y가 아니라 2y·y′로 미분해야 한다. 따라서 x²+y²=25를 x로 미분한 식은 2x+2y·y′=0이다. 여기서 교사는 이 비교까지만 제시하고, y′를 어떻게 정리할지는 학생이 직접 적게 한다.

나누기 전 조건을 표시하고 기울기를 완성하기

학생이 식을 이어서 정리하면 2y·y′=−2x, y′=−x/y가 된다. 다만 이 나눗셈은 y≠0일 때만 가능하다. 점 (3,4)에서는 y=4이므로 조건을 만족하고, y′=−3/4를 얻는다. 원의 반지름이 중심 (0,0)과 점 (3,4)를 잇는 선분이므로 그 기울기는 4/3이다. 두 기울기의 곱은 (4/3)(−3/4)=−1이므로 접선과 반지름이 수직이라는 부분 검산도 가능하다. 이렇게 답안을 고칠 때에는 “미분 불가”를 지우는 데 그치지 말고, y도 x의 함수로 미분했다는 근거와 y로 나눌 수 있었던 조건을 함께 남겨야 한다.

조건이 바뀐 문제에 같은 방법을 다시 적용하기

이제 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제와 필수 자료인 원의 식, 접점 좌표만 남겨 둔다. 같은 원 x²+y²=25의 점 (5,0)에서 접선의 방정식을 구하라. 학생은 먼저 바뀐 조건인 y=0을 표시하고, y′=−x/y로 나누어도 되는지 확인해야 한다. y=0이므로 이 식으로 유한한 기울기를 구할 수 없다. 대신 점 (5,0)에서 중심으로 향하는 반지름은 x축 방향이고, 접선은 반지름에 수직이므로 x=5이다. 원식에 x=5를 넣으면 25+y²=25, 즉 y²=0이 되어 이 직선이 원과 (5,0)에서 한 점으로 만나는 것도 확인할 수 있다. 마지막 줄은 비워 두고 학생이 “정답은 x=5인 수직 접선이며, y=0이라 y로 나눌 수 없고 위치 관계로 판단했다”라고 직접 채우게 한다. 다음 점검에서는 표현만 바뀐 문제인지 실제 조건이 바뀐 문제인지 구별하고, y로 나누기 전 예외 조건을 표시했는지 확인한다.