각산동 고등수학과외

등비수열의 연속한 항이 주어지지 않으면 공비를 바로 하나로 정하기 쉽지 않다. 다음과 같은 문제를 보자. 실수 등비수열에서 a₁=2, a₃=8일 때 가능한 실수 공비와 a₂를 모두 구하는 상황이다. 이렇게 답했다면 어떨까? a₃=a₁r²이므로 8=2r², r²=4, 따라서 r=2만 남기고 a₂=2×2=4라고 쓰는 것이다. 계산 중간에는 맞는 식이 보이지만, 제곱을 푸는 순간 한 가지 부호를 빠뜨렸다.

항 번호와 부호를 표시하며 오답 확인하기

먼저 aₙ=a₁rⁿ⁻¹에서 항 번호를 확인해야 한다. a₃는 2r²이므로 2r²=8, r²=4가 된다. 여기서 r=2만 적은 이유가 공비와 증가량을 혼동한 것인지, 음의 공비를 빠뜨린 것인지 오답 하나만으로 확정할 수는 없다. “r=−2도 첫째항과 셋째항 조건을 만족하는가?”라고 묻고, 학생이 직접 2(−2)²을 계산해 8인지 표시하게 한다. r=−2도 조건을 만족하므로 두 부호를 모두 남겨야 한다. 제곱근을 구할 때 ±를 기록하는 습관은 떨어진 항 사이의 부호 변화를 놓치지 않게 한다.

공비별로 둘째항을 다시 계산하기

학생이 후보를 직접 나누어 계산하면 r=2일 때 a₂=a₁r=2×2=4이고, r=−2일 때 a₂=2×(−2)=−4이다. 따라서 가능한 결과는 (r,a₂)=(2,4), (−2,−4)이다. 두 경우를 항으로 펼쳐 보면 첫 번째 수열은 2, 4, 8이고 두 번째 수열은 2, −4, 8이다. 둘 다 첫째항과 셋째항을 만족하므로 r=2만 남기는 결론은 성립하지 않는다. 이후 합 공식을 사용할 때에는 분모에 r−1이 나타나는지 먼저 보고 r=1인 경우를 따로 확인해야 하듯, 식을 변형할 때도 빠지는 조건이 없는지 함께 살펴야 한다.

조건을 바꿔 다시 적용하기

이번에는 문제와 필요한 조건만 남기고 풀이 과정과 정답 표시는 가린 상태에서 시작한다. 양수인 항으로 이루어진 등비수열에서 a₁=2, a₃=8일 때 공비와 a₂를 구하는 문제다. 먼저 바뀐 조건인 ‘모든 항이 양수’에 표시하고, 같은 방식으로 r²=4에서 r=2 또는 r=−2를 얻는다. 이어 둘째항의 부호를 비교한다. r=−2이면 a₂=−4이므로 양수인 항이라는 조건에 맞지 않아 제외되고, r=2이면 a₂=4가 남는다. 최종 답은 r=2, a₂=4이다. 양의 첫째항과 양의 공비를 가지면 aₙ=2·2ⁿ⁻¹>0이므로 모든 항이 양수라는 점도 확인할 수 있다. 마지막 줄을 비워 두고 학생이 “r=−2는 둘째항이 음수라 제외한다”라고 직접 쓰게 하면, 표현만 바뀐 문제와 실제 조건이 바뀐 문제를 구별했는지 알 수 있다. 공비의 부호가 다시 헷갈리면 2, 4, 8과 2, −4, 8처럼 연속한 네 항을 적어 부호 변화를 읽고 다음 문제에서 조건부터 표시하게 한다.