사복동 고등수학과외

2022 개정 진로 선택 미적분Ⅱ에서 도함수와 이계도함수, 그래프를 함께 살피다 보면 계산 결과는 맞아 보여도 정의역을 빠뜨려 결론이 달라질 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답의 모양보다 먼저 문제의 조건이 풀이에 반영되었는지 확인한다. 예를 들어 f(x)=xe^(−x), x≥2의 최댓값을 구하는 문제에서 f′(x)=e^(−x)(1−x)까지 계산했다면, 학생이 x=1에서 f(x)=1/e라고 답했다고 가정해 보자. 식 자체에서 정지점 x=1을 찾은 것은 맞지만, x=1은 주어진 정의역 x≥2 안에 있는가?

정지점 계산 뒤에 정의역과 변화 방향 확인하기

이 오답 하나만으로 도함수 개념을 모른다고 단정하지 않는다. 일계도함수가 나타내는 함수의 증가·감소와 이계도함수가 나타내는 그래프의 볼록성을 혼동했는지, 또는 f′(x)=0인 점을 언제나 극값으로 받아들였는지를 구분해야 한다. 학생에게 먼저 정의역에 x=1을 직접 표시하게 하고, f′(x)의 인수 e^(−x)가 양수라는 점도 확인하게 한다. 그러면 x≥2에서는 1−x<0이므로 f′(x)=e^(−x)(1−x)<0이다. 이 부호가 허용된 구간 전체에서 유지된다는 근거를 바탕으로, 그다음 결론은 학생이 직접 완성한다.

극값은 도함수가 0이라는 사실만으로 결정되지 않고, 좌우에서 도함수의 부호가 어떻게 바뀌는지와 정의역의 끝점을 함께 보아야 한다. 이계도함수의 부호는 볼록성을 판단하는 자료이며, 도함수가 0인 점만으로 극값이나 변곡점을 단정할 수 없다. 이번 구간에서는 f′(x)<0이므로 함수가 x≥2에서 감소한다. 따라서 허용된 모든 x가 x=2보다 크거나 같을 때 함수값은 f(2)보다 커질 수 없고, 학생은 f(2)=2/e²를 계산해 최댓값과 그때의 x를 정리한다.

고친 풀이를 식과 그래프로 대조하기

수정 풀이에는 “x=1은 정의역 밖이므로 후보가 아니다”라는 조건을 남긴다. 이어 f′의 부호를 구간에 표시하고, 원함수의 좌표 (2, 2/e²)를 적어 계산과 그래프의 방향이 일치하는지 대조한다. 수치 대입은 전체 성질을 대신하는 근거가 아니라 끝점의 값을 확인하는 부분 검산으로 사용한다. 이렇게 하면 정답은 2/e², x=2이며, 정지점 하나를 찾은 결과와 정의역 전체에서의 최댓값 판단을 구별할 수 있다.

그다음 재적용에서는 같은 함수와 도함수라는 자료만 남기고, 풀이·정답·유도 표시를 가린 상태에서 새 문제를 시작한다. 문제는 f(x)=xe^(−x), x≥0의 최댓값을 구하는 것이다. 이는 식의 표현만 바꾼 문제가 아니라 정의역 조건이 실제로 달라진 경우다. 학생은 f′=e^(−x)(1−x)를 다시 인수분해하고, [0,1]에서는 증가, (1,∞)에서는 감소한다고 직접 표시해야 한다. x=1이 이번에는 정의역 안에 있으므로 f(1)=1/e를 계산하고, 끝점 f(0)=0과 부호표를 대조해 전체 구간의 최대임을 확인한다.

다음 점검에서 조건을 스스로 남기는지 보기

마지막에는 교사가 제시한 첫 단계를 지운 뒤, 정의역을 제한한 지수 곱함수의 판단 식과 이유를 학생이 처음부터 작성하게 한다. 도함수 0을 곧바로 답으로 쓰면 좌우 구간의 부호를 표시하고 원함수의 좌표까지 구하도록 점검한다. 또한 같은 함수의 표현 변경과 정의역 자체의 변경을 구별하는지 확인한다. 문제, 정의역, 도함수 부호, 후보의 포함 여부, 끝점 검산을 남긴 채 다시 풀게 하면 다음 문제에서도 빠진 조건을 스스로 찾아낼 수 있다.