안심 고등수학과외

오답에서 사라진 조건부터 찾기

“실수 x에 관한 ‘x>2이면 x>1’의 역을 쓰고 참·거짓을 판단하라”는 문제에서 이렇게 답했다면, 먼저 오답의 문장을 원문과 나란히 놓고 확인한다. 학생이 쓴 “x≤1이면 x≤2”는 조건과 결론을 그대로 맞바꾼 역이 아니다. 원문의 앞뒤를 부정해 방향을 바꾼 대우에 해당한다. 따라서 틀린 결과만 보고 곧바로 개념을 하나로 단정하지 않고, “쓴 문장은 역인가, 대우인가?”, “원문의 조건과 결론 중 무엇이 바뀌었는가?”라고 묻는다. 전칭 명제나 존재 명제의 부정을 잘못 만든 경우인지도 문장에 표시한 부호와 범위를 학생이 직접 대조하게 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이런 확인을 통해 오답에서 사라진 조건이 단순한 부호인지, 명제의 방향인지 구별한다.

역의 참·거짓을 반례로 확인하기

교사는 원래 명제의 방향과 역의 방향을 분리해 적는다. 원문은 x>2이면 x>1이고, 역은 조건과 결론을 맞바꾸어 “x>1이면 x>2”이다. 원문은 x>2인 모든 실수에서 x>1이므로 부등식의 연결로 증명할 수 있지만, 역은 몇 개의 수를 대입해 우연히 맞는지 보는 것으로 참이라고 할 수 없다. 학생은 역의 조건 x>1을 만족하면서 결론 x>2를 만족하지 않는 대상을 찾아야 한다. x=3/2를 직접 대입하면 3/2>1은 참이고 3/2≤2이므로 x>2는 거짓이다. 즉 조건은 만족하지만 결론은 거짓인 한 대상이 존재하므로 역은 거짓이다. 이때 교사는 근거 한 단계 뒤의 식과 결론을 학생이 직접 완성하게 하여, 반례가 왜 유효한지 말로 설명하게 한다.

풀이를 가린 상태에서 다른 조건으로 옮기기

수정한 뒤에는 문제와 조건, 필요한 기호 자료만 남기고 풀이·정답·유도 표시를 가린 상태에서 다음 판단을 시작한다. 정수 n에 관한 “n²이 짝수이면 n은 짝수”의 대우를 쓰는 문제를 제시하고, 학생이 먼저 p와 q를 표시한 뒤 순서를 바꾸는 역과 양쪽을 부정하는 대우를 구분하게 한다. 대우는 “n이 홀수이면 n²은 홀수”이다. 학생은 n=2k+1(k는 정수)로 두어 n²=4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1임을 완성하고, n²이 홀수라는 결론을 확인한다. 이후 수정 전후 풀이를 섞어 제시해 명제의 역과 반례에 맞는 단계의 순서를 복원하게 한다. 같은 문장의 표현만 바꾼 경우와 실제 조건이 달라진 경우를 나누어, 어떤 문장이 조건을 만족하면서 결론을 깨뜨리는지 직접 표시하고 대조한다. 마지막에는 다른 조건의 명제에서도 선택 이유를 설명하게 하며, 반례의 역할이 흐려지면 ‘조건은 참, 결론은 거짓’인 한 대상을 다시 찾도록 점검한다.