율하동 고등수학과외

“0의 좌우에서 f′=3x²의 부호가 바뀌는가?”라는 질문에서 계산이 멈췄다면, 단순히 도함수값을 구하는 것과 그 값을 구간의 성질에 적용하는 것은 구분해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 한 점의 기울기만으로 함수 전체의 증가나 극값을 결론 내리지 않고, 주어진 정의역과 인접한 구간의 부호를 함께 확인한다.

f(x)=x³에서 멈춘 판단을 다시 살펴보기

실수 전체에서 f(x)=x³의 증가 여부와 x=0에서 극값 여부를 판단한다고 하자. 이렇게 답했다면 “f′(0)=0이므로 증가가 끊기고 극대이다”라고 말할 수 있다. 그러나 f′(0)=0은 0이라는 한 점에서의 정보일 뿐, 좌우 구간 전체의 증가·감소를 결정하지 않는다. 먼저 학생이 0의 좌우에서 f′(x)=3x²의 부호가 바뀌는지 직접 표시하게 한다. 0이 아닌 모든 x에서 3x²>0이고, 0에서만 0이므로 좌우의 부호가 양수에서 음수로 바뀌지 않는다. 따라서 극대라고 볼 근거가 없다.

정리의 조건과 함수값을 서로 대조하기

평균값 정리를 활용하려면 비교할 닫힌구간에서 함수가 연속이고, 그 안쪽 열린구간에서 미분 가능해야 한다. f(x)=x³은 실수 전체에서 이 조건을 만족하지만, 정리의 가정을 확인했다는 사실만으로 f′(0)=0을 극값으로 해석할 수는 없다. 증가·감소는 구간별 도함수의 부호와 실제 함수의 방향을 함께 살펴야 한다. 학생이 후보를 고른 뒤에는 원래 조건과 대조하게 한다. a<b일 때 a³<b³인지 직접 확인하면 함수가 실수 전체에서 증가한다는 결론을 검산할 수 있다. 또한 0의 양쪽에서 도함수 3x²은 모두 양수이므로, 함수는 두 구간에서 모두 증가한다. 그러므로 0은 극값점이 아니다.

풀이를 가린 상태에서 조건을 바꾸어 다시 적용하기

재시도에서는 문제와 조건만 남긴다. “f(x)=x³+x의 실수 전체에서 증가·감소를 판단하라”는 문장과 정의역은 보이되, 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 학생이 필요한 식을 처음부터 세우게 한다. 먼저 f′(x)=3x²+1을 구하고, 모든 실수에서 f′(x)>0임을 표시해야 한다. 따라서 이 함수는 실수 전체에서 엄격히 증가한다. 다른 방법으로는 임의의 a<b에 대해 f(b)-f(a)=(b-a)(a²+ab+b²+1)>0임을 확인할 수 있다. 여기서 표현만 바뀐 것이 아니라 x항이 추가되어 도함수의 성질도 달라졌다는 점을 구별한다. 마지막으로 “한 점의 도함수가 0이어도 전체 증가가 가능한가?”를 다시 묻고, 답을 외운 것이 아니라 조건에 맞는 식과 근거를 세웠는지 확인한다. 한 점의 기울기만으로 구간 전체를 말하려는 흔적이 보이면 좌우 구간의 부호를 각각 조사하게 한다.