동호동 고등수학과외

두 변의 길이가 3cm와 5cm이고 끼인각이 60°인 삼각형에서 나머지 변을 구하는 예시를 보자. 이렇게 답했다면 먼저 오답과 검산 결과를 나란히 놓고 비교해야 한다. 한 풀이에서는 c²=9+25+30cos60°=49, c=7이라고 했지만, 삼각형의 조건을 다시 식에 넣으면 결과가 달라진다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 고치는 대신 “코사인법칙의 교차항 앞 부호는?”이라는 질문으로 학생이 식의 구조를 먼저 확인하게 한다.

교차항의 부호와 변·각의 대응부터 확인하기

각 A, B, C의 맞은편 변을 각각 a, b, c로 정하고, 두 변 3과 5 사이에 있는 각이 60°인지 표시한다. 이때 그 각의 맞은편 변을 c라고 하면 코사인법칙은 c²=3²+5²−2·3·5cos60°이다. 교차항 앞에는 더하기가 아니라 빼기가 온다. 다만 오답 하나만 보고 원인을 확정할 수는 없다. “3과 5가 정말 같은 끼인각을 이루는가?”, “각의 맞은편 변을 c로 정했는가?”, “도형을 다시 그렸을 때 겉모양의 직각을 가정하지 않았는가?”를 차례로 묻고, 학생이 변과 각을 직접 표시하게 한다.

학생이 조건을 반영해 수정하고 직접 검산하기

교사가 올바른 식을 제시한 뒤에는 다음 줄을 대신 계산하지 않고, 학생이 조건을 반영해 이어 쓰게 한다. cos60°=1/2이므로 c²=34−30×1/2=34−15=19, 따라서 c=√19cm이다. 먼저 2<c<8이라는 삼각형 부등식을 표시하면 √19가 가능한 범위에 있음을 확인할 수 있다. 이어 c²=19를 원래 코사인 식에 되넣어 19=34−30cos60°가 되는지 대조하면 cos60°=1/2이 복원된다. 수치 대입은 식 전체가 항상 옳다는 증명이 아니라, 주어진 조건과 계산 결과가 서로 맞는지 확인하는 검산으로 사용한다.

각이 바뀌었을 때 부호의 의미를 다시 적용하기

이제 문제와 조건을 따로 남겨 두고 풀이와 정답은 가린 상태에서, 두 변이 3cm와 5cm이고 끼인각이 120°인 삼각형의 나머지 변을 다시 시작한다. 먼저 길이와 각을 도형에 표시하고 코사인법칙의 − 기호와 cos120°의 음수 부호를 따로 적는다. cos120°=−1/2이므로 c²=34−30(−1/2)=49, c=7cm이다. 둔각의 맞은편 변은 피타고라스 기준 √34보다 커야 하므로 7이 방향상 맞고, 식에 되넣으면 cos120°=−1/2가 나온다. 여기서 같은 법칙의 표현만 바뀐 것이 아니라 끼인각 자체가 예각에서 둔각으로 바뀌었다는 점을 한 문장으로 쓰게 한다. 다음 점검에서는 기본 문제의 정답을 보이지 않은 채 경계값과 제외 조건부터 표시하고, 변·각의 대응과 부호를 직접 확인한 뒤 계산하게 한다.