월성동 고등수학과외

명제의 대우를 쓰는 문제에서 조건 하나가 달라지면 결론도 달라진다. 처음에는 ‘n²이 짝수이면 n은 짝수’라는 명제를 보고, 이렇게 답했다면 어떤 부분을 확인해야 할까? “n이 짝수이면 n²이 짝수”라고 썼다면 원래 조건과 결론의 순서만 바꾼 것이다. 이는 대우가 아니라 역에 가까운 형태이므로, 문장의 방향과 부정 여부를 나누어 살펴봐야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 고치는 데 그치지 않고, 학생이 조건을 직접 표시하고 각 문장을 대조하도록 한다.

원문과 오답의 조건을 나란히 표시하기

주어진 명제를 p이면 q의 꼴로 두면 p는 ‘n²이 짝수이다’, q는 ‘n은 짝수이다’이다. 대우는 q가 아니면 p가 아님이므로 ‘n이 홀수이면 n²은 홀수’가 된다. 반면 학생이 쓴 ‘n이 짝수이면 n²이 짝수’는 p와 q를 맞바꾼 역이다. 이때 오답 하나만으로 방향을 바꾸었다고 단정하지 않는다. 원래 조건과 결론을 바꾼 뒤 각각 부정했는가라고 물어, 방향을 바꾼 것인지 전칭·존재 명제의 부정을 혼동한 것인지 구별한다. 학생은 원문에서 조건에 밑줄을 긋고, 결론에 동그라미를 친 뒤 대우에서는 두 표시의 순서와 부호가 어떻게 달라졌는지 직접 적는다.

몇 번의 대입과 일반적인 증명을 구별하기

참인 방향과 거짓인 방향은 각각 증명 또는 반례로 확인해야 한다. 짝수인 몇 개의 n을 대입해 n²도 짝수임을 확인하는 것만으로 모든 정수에 대한 명제를 증명할 수는 없다. 대우의 참은 홀수 정수 n을 n=2k+1, k는 정수로 나타내어 확인한다. 그러면 n²=(2k+1)²=4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1이므로 n²은 홀수이다. 따라서 ‘n이 홀수이면 n²은 홀수’가 성립한다. 중간 계산을 함께 확인한 뒤, 최종 판단은 학생이 “홀수 정수의 제곱은 홀수이므로 주어진 명제의 대우가 참이다”라고 문장으로 쓴다.

표현만 바뀐 문제와 조건이 실제로 달라진 문제

기본 문제에서는 정수 n의 홀짝 조건을 다뤘지만, 다음 문제는 실수 x의 범위와 부등호가 달라진다. ‘x>2이면 x>1’의 역을 쓰고 참·거짓을 판단하라. 역은 조건과 결론만 맞바꾸므로 ‘x>1이면 x>2’이다. 이는 거짓이며, x=3/2를 대입하면 3/2>1은 참이지만 3/2>2는 거짓이다. 따라서 조건은 만족하면서 결론은 만족하지 않는 유효한 반례가 된다. 앞 문제의 대우와 새 문제의 역은 모두 앞뒤 조건을 구별해야 한다는 점은 같지만, 정수의 홀짝과 실수의 부등식이라는 허용 범위는 다르다. 재적용할 때는 문제의 식·범위·필수 자료만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린다. 학생은 먼저 “원래 조건과 결론을 바꾼 뒤 각각 부정했는가?”를 확인하고, 역인지 대우인지 문장으로 다시 쓴다. 이후 반례가 필요한 경우 조건은 만족하지만 결론은 거짓인 한 대상을 직접 찾아 두 부등호를 대조한다. 마지막에는 대우의 식과 새 문제의 역을 나란히 검토하며, 조건 변경이 결론과 판단에 어떤 차이를 만들었는지 설명한다.