이곡동 고등수학과외

2배가 된 것은 표준편차일까, 분산일까

확률과 통계에서 정규분포의 선형 변환은 평균과 퍼지는 정도를 따로 확인해야 한다. 대표 문제로 X~N(3,4), Y=2X+1일 때 Y의 정규분포를 구해 보자. 여기서 N(3,4)의 두 번째 수는 분산이므로 X의 표준편차는 2이다. 그런데 이렇게 답했다면 어떨까. “Y~N(7,8).” 평균 2·3+1=7은 맞지만 분산을 2배만 한 오답이다.

이 한 결과만으로 원인을 단정하지 않고, 먼저 “2배 하면 분산은 2배인가, 4배인가?”라고 묻는다. 학생이 N(3,4)의 표준편차와 분산을 각각 표시하고, Y=2X+1에서 곱해진 배율을 찾아 직접 대조하게 한다. 표준화한 값의 구간과 원래 확률을 연결하는 데 어려움이 있는지도 함께 확인한다. 단순히 공식을 외웠는지가 아니라 어느 식에서 판단이 빠졌는지를 드러내는 과정이다.

평균과 분산을 분리해 수정하기

X~N(μ,σ²)에서 Z=(X−μ)/σ로 표준화한다는 사실을 바탕으로, 선형 변환에서는 평균과 표준편차가 서로 다른 방식으로 바뀐다는 점을 식으로 작성하게 한다. Y=2X+1에서는 상수 1이 평균에 더해지고, 배율 2는 표준편차를 2배로 만든다. 따라서 평균은 2·3+1=7, 표준편차는 2·2=4, 분산은 그 제곱인 4²=16이다.

학생이 직접 “Y~N(7,16)”이라고 다시 쓰면, 교사는 정답만 알려 주지 않고 원래 식과 수정 식을 나란히 비교하게 한다. X의 분산 4에 배율의 제곱 2²을 곱하면 2²·4=16이라는 일반적인 근거도 확인한다. 처음 오답의 8은 실제로 분산을 단순히 2배 한 값일 뿐이며, 주어진 변환에서 생기는 퍼짐의 정도와 일치하지 않는다. 표준편차가 2에서 4로 두 배가 되었으므로 분산이 16이 되는지 부분 검산할 수 있다.

부호가 바뀌는 조건까지 다시 적용하기

기본 문제를 맞힌 뒤에는 답을 기억한 것인지 구별할 수 있도록 조건을 바꿔 판단한다. 문제와 조건, 필요한 표준정규확률 자료만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시를 가린 상태에서 X~N(0,1), Y=−X일 때 P(Y≤1)을 구한다. 먼저 −X≤1을 X≥−1로 바꾸며, 음수 배율 때문에 부등호가 뒤집혔는지 학생이 직접 표시한다.

표준정규분포의 대칭성을 이용하면 P(X≥−1)=0.5+P(0≤X≤1)=0.5+0.3413=0.8413이다. 따라서 P(Y≤1)=0.8413이다. Y 역시 표준정규분포이므로 P(Y≤1)이 0.8413이라는 점과도 일치한다. 표현만 바뀐 문제인지 실제 조건이 달라진 문제인지 구분하면서, 표에서 숫자부터 찾지 않고 먼저 원래 사건을 Z의 구간으로 바꾸고 확률 영역을 표시해야 한다.

마지막으로 예시 오답에서 바꿔야 할 결론을 말이 아니라 식으로 표시하게 한다. 이후에는 배율의 부호, 평균에 더해지는 상수, 분산에 적용되는 제곱을 차례로 확인하고, 계산한 분포와 확률이 표준화 결과와 맞는지 대조하는 습관으로 이어 간다. 배움노트 고등수학 수업에서도 같은 순서를 유지하면 새로운 수치가 주어져도 풀이의 근거를 스스로 설명할 수 있다.