도원동 고등수학과외

두 개의 1을 순서 있게 고른 답부터 점검하기

0과 1로 길이 5의 문자열을 만들 때 1이 정확히 두 번 나오는 경우를 구한다고 하자. 이 조건은 1의 개수를 고정하는 문제이므로, 먼저 두 개의 1이 들어갈 위치를 정하고 나머지 세 자리에 0을 놓으면 된다. 그런데 이렇게 답했다면, “각 1의 자리를 순서 있게 골라 5·4=20”이라고 계산했을 수 있다. 식만 보면 다섯 자리 중 하나를 고르고 다시 남은 자리 중 하나를 고른 과정처럼 보이지만, 두 1은 서로 같은 기호다. 첫 번째로 고른 위치가 세 번째이고 두 번째가 다섯 번째인 경우와, 순서를 바꾸어 다섯 번째와 세 번째를 고른 경우는 같은 문자열을 만든다.

이때 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, “두 개의 1을 서로 구별해서 센 것인가?”, “첫 번째와 두 번째 선택의 순서를 바꾸면 새로운 문자열이 되는가?”라고 확인한다. 학생은 처음 쓴 5·4를 다시 보고, 위치 3과 5를 고른 경우와 위치 5와 3을 고른 경우를 직접 표시해 대조한다. 두 결과가 모두 00101이라면 선택 순서가 결과를 바꾸지 않는다는 점을 확인할 수 있다.

자리의 구별과 기호의 구별을 나누어 수정하기

자리는 서로 구별되지만 같은 기호인 1은 서로 구별하지 않는다. 따라서 필요한 것은 다섯 자리에서 1이 들어갈 위치 두 곳을 고르는 일이며, 학생은 5C2=10이라고 수정해 쓸 수 있다. 순서 있게 세는 방법을 유지하고 싶다면 5·4로 센 각 위치쌍이 두 번씩 나타나므로 20÷2=10으로 조정한다. 이 설명은 단순히 공식을 대입한 것이 아니라, 반복을 허용하는 선택인지, 같은 대상을 구별하는지, 선택 순서가 결과에 영향을 주는지를 분리한 것이다.

정답은 10개다. 실제 문자열을 모두 나열하지 않아도, 위치쌍 하나가 정해지면 나머지 자리는 자동으로 0이 되어 문자열 하나가 정확히 정해진다. 반대로 위치쌍이 다르면 적어도 한 자리의 기호가 달라져 다른 문자열이 된다. 그러므로 서로 다른 위치쌍과 문자열 사이에 일대일 대응이 성립한다. 작은 반례로 위치가 1, 2인 경우 11000, 위치가 2, 1인 경우에도 11000임을 확인하면 20을 그대로 답으로 삼을 수 없는 이유가 분명해진다.

조건을 바꾸어 같은 기준으로 다시 적용하기

이제 문제 자료만 남기고 풀이와 정답은 가린 상태에서, 0과 1로 길이 5의 문자열을 만들되 첫 기호가 1인 경우를 생각한다. 여기서는 1의 전체 개수를 고정한 것이 아니라 첫 자리를 고정한 것이다. 첫 1은 이미 정해져 있고 나머지 네 자리마다 0 또는 1의 두 선택이 있으므로 2⁴=16개이다. 전체 32개의 문자열도 첫 기호가 0인 묶음과 1인 묶음으로 나뉘며 두 묶음의 크기가 같으므로 32÷2=16으로 확인할 수 있다.

학생은 두 문제의 조건을 나란히 적어 “첫 문제는 1이 정확히 두 번, 다음 문제는 첫 기호가 1”이라고 구분한다. 표현만 바뀐 문제가 아니라 고정된 조건 자체가 달라졌으므로 같은 식을 기계적으로 옮기지 않는다. 다시 풀 때에는 1의 개수 고정이라는 근거를 먼저 쓰고, 작은 길이의 문자열을 직접 나열해 같은 결과가 무엇인지 표시한 뒤 식을 선택한다. 마지막으로 새 조건에서도 고정된 자리와 전체 기호 개수를 구별해 풀이의 근거와 검산을 함께 적는지 확인한다. 이런 기준을 반복하면 배움노트 고등수학 수업에서 배운 조합식이 답을 대신 고르는 도구가 아니라 조건을 읽고 세는 이유를 드러내는 방법이 된다.