감삼동 고등수학과외

오답에서 사라진 곱 항 찾기

x²−3x+1=0의 두 근을 α, β라 하고 α²+β²을 구하는 문제를 보자. 이렇게 답했다면 “α²+β²=(α+β)²=9”라고 썼을 수 있다. 이때 합 α+β=3을 이용한 부분은 맞지만, 제곱한 식 전체를 그대로 근의 제곱합이라고 본 점이 문제다. (α+β)²을 전개하면 α²+2αβ+β²가 되므로, 오답에서는 두 근의 곱에 해당하는 2αβ가 사라졌다.

배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만으로 암기 부족이라고 정하지 않는다. “(α+β)²에 함께 들어 있는 곱 항은 무엇인가?”, “주어진 이차방정식에서 두 근의 합과 곱을 각각 어디에서 읽을 수 있는가?”라고 묻고, 학생이 전개식에 항을 직접 표시하게 한다. 합과 곱은 알지만 제곱합으로 바꾸는 과정에서 항을 빠뜨린 것인지, 근과 계수의 관계 자체를 잘못 기억한 것인지 답변과 표시를 비교해 원인을 나눈다.

합과 곱으로 식을 완성하고 검산하기

x²−3x+1=0은 x²−(α+β)x+αβ=0의 꼴과 비교할 수 있다. 따라서 α+β=3, αβ=1이다. 이제 요구한 식을 (α+β)²−2αβ로 바꾸면 α²+β²=3²−2·1=7이 된다. 교사는 이 식을 한 번에 대신 써 주기보다, 합과 곱을 먼저 적은 뒤 “제곱합을 만들려면 어떤 전개식을 거꾸로 이용할까?”라고 질문한다. 학생이 식을 직접 세우고 9−2=7까지 계산하게 한다.

결과는 근의 성질로도 확인할 수 있다. 각 근은 원래 방정식을 만족하므로 α²=3α−1, β²=3β−1이다. 두 식을 더하면 α²+β²=3(α+β)−2=3·3−2=7이므로 같은 결론을 얻는다. 이는 특정 근을 구하지 않아도 성립하는 일반적인 검산이다. 판별식은 이 문제에서 근이 실수인지 확인할 때 쓰이며, 제곱합 계산에서는 주어진 근과 계수의 관계와 식의 성립 조건을 먼저 구분해야 한다.

풀이를 가린 뒤 바뀐 조건에 다시 적용하기

재적용할 때는 x²−5x+6=0과 “두 근 α, β에 대해 α+β와 αβ를 구하라”는 조건만 남기고, 앞서 쓴 풀이와 정답은 가린 상태에서 시작한다. 학생은 x²−(α+β)x+αβ와 주어진 식을 비교해 −(α+β)=5, αβ=6을 직접 적어야 한다. 따라서 α+β=−5, αβ=6이다. (x+2)(x+3)의 근 −2, −3을 대조하면 합은 −5, 곱은 6으로 확인된다.

앞 문제와 달라진 것은 계수의 조건과 요구한 값이다. 같은 근과 계수의 관계를 쓰더라도 합·곱을 직접 묻는 경우에는 필요한 값을 바로 읽고, 제곱합을 묻는 경우에는 (α+β)²−2αβ를 만들어야 한다. 학생이 식을 만들지 못하면 제곱 전개나 필요한 항을 먼저 적고 계수 값을 대입하게 한다. 마지막에는 첫 단계를 지운 채 α²+β²을 판단하는 식과 이유를 스스로 작성하게 하며, 다음에는 부호가 바뀐 방정식에서도 합과 곱을 정확히 대조하는지 확인한다.