본동 고등수학과외

음수 입력이 빠지면 같은 결론일까

함수 $f(x)=x^2$에서 $1$과 $-1$은 서로 다른 입력이지만 두 출력은 모두 $1$이다. 이 반례만 보면 제곱함수는 일대일이 될 수 없다고 생각하기 쉽다. 그러나 그 결론은 입력의 범위가 실수 전체일 때에만 바로 적용된다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 먼저 $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$, $f(x)=x^2$를 제시하고, 앞의 반례에서 사용한 $-1$이 이번 정의역에도 들어가는지 표시하게 한다. 이어 출력 $y\ge0$에 대해 $-\sqrt y$도 허용된 입력인지 확인하게 하여, 표현이 같은 문제인지 조건이 달라진 문제인지 구분한다.

함수 조건과 일대일대응 조건을 나누어 확인하기

이렇게 답했다면, “$x^2$은 언제나 두 입력이 있어 일대일대응이 아니다”라는 판단에는 함수의 조건과 일대일성의 조건이 섞였을 가능성이 있다. 먼저 학생에게 함수는 각 입력에 하나의 출력이 정해지는 관계라는 점을 적게 하고, 일대일함수는 서로 다른 두 입력이 같은 출력을 만들지 않아야 한다는 조건을 따로 쓰게 한다. 그다음 $x_1^2=x_2^2$, $x_1,x_2\ge0$에서 어떤 결론이 나오는지 직접 전개한다. 두 수가 모두 비음수이므로 $x_1=x_2$이고, 서로 다른 입력의 같은 출력은 생기지 않는다. 또 일대일대응이 되려면 공역의 모든 값이 실제로 나와야 한다. 임의의 $y\ge0$에 대해 $x=\sqrt y$를 대입하면 $x^2=y$이므로 치역이 공역 전체가 된다. 학생은 비교 자료의 계산 결과와 ‘일대일성’, ‘치역과 공역의 일치’를 구분해 적는다.

수정 풀이를 다른 정의역에서도 다시 대조하기

학생의 수정 풀이는 “각 $y\ge0$에 대해 입력 $\sqrt y$가 유일하게 대응하므로 일대일대응이다”가 된다. 검산은 두 방향으로 진행한다. $x_1^2=x_2^2$에서 $x_1=x_2$가 되는지 확인하고, 임의의 $y\ge0$에 대해 $\sqrt y$가 정의역 안에 있으며 실제로 $y$를 만드는지 대조한다. 수치 $0,1,4$를 넣어 보는 것은 일부 값의 확인일 뿐이고, 전체 구간에서의 일대일성과 치역의 근거는 위의 일반적인 식으로 남긴다. 이후 문제와 조건만 남겨 두고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 $f:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=x^2$를 다시 판단한다. 함수인지 여부와 일대일 여부를 나누어 쓴 뒤 $1\ne-1$인데 $f(1)=f(-1)=1$임을 찾아 일대일함수가 아님을 확인한다. 수정 전후 문장을 섞어 제시하고, 정의역 확인→서로 다른 입력의 출력 비교→공역 전체 확인의 순서를 복원하게 하면 조건을 바꾼 이유도 설명할 수 있다. 마지막에는 풀이와 정답을 가린 채 두 문제를 다시 풀고, 같은 표현을 바꾼 것인지 실제 정의역을 바꾼 것인지 말하게 하며 다음 점검에서 경계값과 음수 입력을 빠뜨리지 않도록 한다.