당하지구 고등수학과외

수정 풀이에서 “부정은 ‘어떤 실수 x에 대해 x²≤0’. 원명제는 거짓.”이라고 썼다면, 이제 답만 외운 것이 아니라 문장의 범위와 부등호를 함께 바꾸었는지 확인해야 한다. 문제는 실수 x에 관한 ‘모든 x에 대해 x²>0’의 부정을 쓰고 원명제의 참·거짓을 판단하는 것이다. 처음에는 ‘모든 x에 대해 x²≤0’이라고 답했다고 해 보자. 이 식은 원래 명제의 부정이 아니라 모든 실수의 제곱이 0 이하라는 별도의 강한 주장이다.

‘모두 그렇다’의 반대가 왜 ‘모두 아니다’가 아닌가

“‘모두 그렇다’가 거짓이려면 모두 반대여야 하는가?”라고 묻고, 학생이 원문을 다시 읽으며 어느 판단이 빠졌는지 표시하게 한다. 모든 실수에 대해 x²>0이라는 말이 거짓이 되려면 단 한 실수라도 조건을 만족하지 않으면 된다. 따라서 전칭 명제의 부정은 ‘어떤 실수가 있어 x²≤0’이다. 방향을 바꾼 것인지, 전칭과 존재 명제의 부정을 혼동한 것인지도 구분해야 한다. ‘모든 x²≤0’은 한 대상을 찾는 것으로 충분한 부정의 구조를 놓친 표현이다.

참인 방향과 거짓인 방향은 각각 근거를 적는다. 모든 실수에서 x²>0이라는 원명제는 x=0을 대입하면 0>0이 아니므로 거짓이다. 이 한 반례는 원명제가 거짓임을 보이지만, 몇 번의 대입만으로 어떤 명제가 모든 실수에서 참이라고 증명할 수는 없다. 반대로 잘못 쓴 ‘모든 x²≤0’은 x=1에서 1≤0이 아니므로 거짓이다. 학생은 이 두 계산을 직접 적고, 각각 어떤 문장을 판단하는 근거인지 옆에 표시한다.

부등호와 존재 범위를 함께 고친 수정 풀이

학생이 다시 쓸 식은 “어떤 실수 x에 대해 x²≤0”이며, 원명제는 거짓이다. 여기서 ‘어떤’은 적어도 하나의 실수가 존재한다는 뜻이고, x는 실수 전체에서 선택된다. x=0은 x²≤0, 즉 0≤0을 만족하므로 이 부정 명제는 실제로 참이다. 동시에 x=0은 원명제 x²>0의 반례이므로 원명제가 거짓이라는 판단도 확인된다. 계산 결과만 쓰지 말고 ‘∃x∈R’과 ‘x=0’을 나란히 적게 하면 범위와 근거가 분리되어 보인다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이런 식으로 부호, 정의된 범위, 명제의 방향을 한 줄씩 대조하며 풀이를 수정한다.

표현을 바꾼 뒤에도 같은 구조가 유지되는지 점검하기

다음 점검에서는 문제와 조건만 남긴다. “어떤 실수 x에 대해 x²<0”의 부정을 쓰고 원명제의 참·거짓을 판단하라. 필수 자료는 실수의 제곱이 항상 0 이상이라는 성질과 전칭·존재 명제의 부정 규칙이며, 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 ‘어떤’이 거짓이 되려면 모든 실수가 반대 부등식을 만족해야 한다고 적고, x²≥0을 모든 실수에 대해 확인한다. 그 결과 부정은 ‘모든 실수 x에 대해 x²≥0’이고 원명제는 거짓이다. 이때는 특정 수를 몇 개 넣는 데서 멈추지 않고 실수의 제곱이 음수가 될 수 없다는 일반 성질로 부정 명제를 설명해야 한다. 같은 문제의 문장만 바꾼 것과 조건 자체가 달라진 것을 구별하면서, 계산 결과와 성립 조건을 각각 적었는지 다시 확인한다.