검단신도시 고등수학과외

계수는 −6. 이 결론은 단순히 $3C2\cdot2=6$으로 계산해서 얻을 수 없다. $(x-2)^3$에서 $x^2$의 계수를 구하려면 $x$를 두 번 선택하고, 남은 한 번은 반드시 $-2$를 선택해야 한다. 따라서 선택된 항은 $3C2\cdot x^2\cdot(-2)$이고, 계수는 $3C2\cdot(-2)=-6$이다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 답을 바로 고치기보다 어느 선택의 부호가 빠졌는지 식으로 드러내게 한다.

오답에서 빠진 선택과 부호 찾기

이렇게 답했다면 먼저 “x 두 개와 함께 선택되는 나머지 항의 부호는?”이라고 묻는다. $3C2$는 세 자리 중 두 자리에서 $x$를 고르는 방법의 수이지, 남은 항의 값까지 양수로 바꾸는 수가 아니다. 학생은 처음 식 $(x-2)^3$을 세 개의 인수 $(x-2)(x-2)(x-2)$로 나누어 적고, $x$를 선택한 횟수와 $-2$를 선택한 횟수를 각각 표시한다. 이때 순서를 따로 세는지, 선택 횟수가 지수와 어떻게 대응하는지도 확인한다. $x$를 두 번 골랐으므로 $x^2$가 되고, 남은 한 번의 선택은 $-2$이므로 부호가 음수라는 사실을 직접 대조한다.

이항계수와 실제 항을 함께 쓰는 수정 풀이

같은 종류의 항을 여러 개 고른 결과는 종류별 개수로 나타낸다. 이항계수 $3C2$는 어느 자리에서 $x$를 두 번 고를지 세는 값이며, 선택되지 않은 항의 부호를 포함하지 않는다. 그러므로 학생은 $3C2\cdot x^2\cdot(-2)$를 작성한 뒤, 계수 부분만 분리해 $3C2\cdot(-2)=-6$이라고 정리한다. 직접 전개하면 $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$이므로 $x^2$항의 계수도 −6이다. 이 검산은 특정 식에서 빠진 부호를 확인하는 부분 점검이고, 모든 이항 전개에서 선택한 항의 개수와 남은 항의 개수를 맞춰야 한다는 원칙도 함께 보여 준다. 부호를 바꾼 식 $(x+2)^3$은 표현만 달라진 것이 아니라 남은 항의 부호 조건이 달라지므로 같은 답으로 처리할 수 없다.

조건을 남긴 뒤 다른 방식으로 다시 확인하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 독립적으로 시작한다. 다항식 $(2x-1)^4$의 모든 계수의 합을 구할 때는 특정 항을 고르는 앞선 방식과 질문의 범위를 구별해야 한다. 모든 계수의 합은 $x=1$을 대입한 값과 같으므로 $(2\cdot1-1)^4=1$이다. 전개해 $16-32+24-8+1=1$로도 확인할 수 있다. 여기서 답을 기억해 쓴 것인지 확인하려면 $x^2$의 계수처럼 특정 항을 찾는 경우와 전체 계수의 합을 구하는 경우를 말로 구분하게 한다. 지수나 개수가 헷갈리면 선택한 항의 수와 남은 항의 수를 나누어 적고, 마지막에는 조건에 맞는 항인지 부호와 지수를 다시 대조한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 과정을 통해 결과만 외우지 않고 선택 구조를 바꾸어도 풀이를 재현하도록 연습한다.