불로지구 고등수학과외

지수부등식을 말로 설명할 때는 “밑이 1보다 크므로 지수의 대소 관계가 그대로 유지된다”고 답하면서도, 막상 식에 적용하면 등호를 빠뜨리는 경우가 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이런 차이를 한 번의 오답으로 단정하지 않고, 처음 쓴 식과 답을 직접 대조하게 하며 조건과 부호를 차례로 확인한다.

등호가 포함된 원식과 학생의 첫 풀이 대조하기

문제는 실수 x에 대해 3^2x−1≤9를 푸는 것이다. 이렇게 답했다면 먼저 원 부등호에 등호가 포함되어 있었는지 학생이 문제에 표시하게 한다. 학생이 9를 3²로 바꾸면서 2x−1<2, 따라서 x<3/2라고 썼다면, 교사는 답만 바로 고치지 않고 처음의 ≤ 기호와 마지막의 < 기호를 나란히 대조하게 한다.

이때 확인할 것은 두 가지다. 9를 같은 밑의 거듭제곱으로 바꾸는 과정이 정확했는지, 그리고 밑 3의 증가성을 이용해 지수를 비교할 때 부등호 방향과 경계가 유지되는지다. 원 부등호와 답의 기호가 달라진 이유를 학생이 말하지 못한다면, 어느 단계에서 등호가 사라졌는지 식에 직접 표시하게 한다.

밑의 범위를 먼저 확인하고 수정 풀이 완성하기

3은 1보다 큰 밑이므로 지수함수 3^t는 전체 실수 구간에서 증가한다. 따라서 같은 밑으로 나타낸 뒤에는 3^2x−1≤3²에서 2x−1≤2로 비교할 수 있다. 같은 밑의 지수함수가 일대일이라는 점은 등식에서 지수를 비교하는 근거가 되고, 부등식에서는 밑이 1보다 큰지 0과 1 사이인지 먼저 살펴야 방향을 정할 수 있다.

교사는 기준을 짧게 제시하되 계산과 답의 선택은 학생에게 남긴다. 학생이 다시 2x−1≤2, x≤3/2라고 쓰면, 양변에 1을 더하고 2로 나누는 과정에서 부호가 바뀌지 않는 이유도 확인하게 한다. 정답은 (−∞,3/2]이다. x=3/2를 원식에 대입하면 양변이 모두 9가 되어 등호가 성립하므로 이 경계는 반드시 포함되어야 한다. 한 점의 대입은 경계 확인에 쓰고, 전체 구간에서의 방향은 밑 3의 증가성으로 설명한다.

표현이 바뀌어도 같은 기준으로 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 실수 x에 대해 (1/2)^x>1/8을 풀게 한다. 이는 앞 문제의 숫자나 표현만 바꾼 것이 아니라 밑이 0과 1 사이로 달라진 조건이다. 학생은 1/8=(1/2)³으로 나타낸 뒤, 밑이 감소함을 확인해야 한다. 따라서 (1/2)^x>(1/2)³에서는 지수의 대소 관계가 반대로 되어 x<3이다.

x=3은 양변이 같아져 원래의 >를 만족하지 않으므로 제외된다. 마지막에는 학생이 “같은 밑으로 바꾼 뒤 밑의 증가·감소를 먼저 확인하고, 원식의 등호 포함 여부에 맞춰 경계를 정한다”는 근거를 다시 적게 한다. 표현만 달라진 경우에는 같은 풀이 기준을 유지하고, 밑처럼 실제 조건이 달라진 경우에는 부등호 방향을 조정하는지 확인한다. 다음 학습에서도 문제 자료만 보고 스스로 기준을 세우게 하여, 경계 포함과 지수 비교를 식과 말로 함께 설명하도록 이어 간다.