석남동 고등수학과외

끝점에서 멈추는 미분계수부터 확인하기

배움노트 고등수학 수업에서 근호가 포함된 합성함수를 다룰 때는 공식을 바로 적용하기보다 정의역과 경계값을 먼저 확인한다. 예를 들어 f(x)=√(2x+1)은 2x+1≥0이어야 하므로 원함수의 정의역은 x≥−1/2이다. 그런데 x=−1/2에서 오른쪽 차분몫을 계산하면 [f(−1/2+h)−f(−1/2)]/h=√(2h)/h=√2/√h가 된다. h가 0보다 큰 값으로 0에 가까워질수록 이 값은 유한한 수에 가까워지지 않고 계속 커진다. 따라서 끝점에서는 미분계수가 존재하지 않는다. 이 경계값을 놓치면 원함수의 정의역과 미분 가능한 범위를 같은 것으로 처리하게 된다.

오답의 식과 원인을 나누어 확인하기

이렇게 답했다면, f′(x)=1/[2√(2x+1)], x≥−1/2라는 풀이에는 두 가지 확인이 필요하다. 먼저 √u를 미분하면 1/(2√u)이므로 바깥 함수의 미분값만 적은 것인지, 안쪽 식 u=2x+1의 미분값 2까지 곱했는지 학생이 직접 표시해 보게 한다. 실제로 합성함수의 미분은 바깥 미분값과 안쪽 미분값의 곱이므로 (1/2)(2x+1)^(−1/2)·2를 써야 한다. 다음으로 x=−1/2를 식에 대입했을 때 분모가 0이 된다는 점과, 앞서 구한 오른쪽 차분몫이 유한하지 않다는 점을 각각 대조한다. 안쪽 미분 2를 알고도 끝점 조건을 놓친 것인지, 두 요소를 모두 놓친 것인지 확인 질문을 나누어야 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않게 된다.

수정 풀이를 가리고 다시 적용하기

학생이 바깥 함수와 안쪽 식을 직접 구분해 적으면 f′(x)=(1/2)(2x+1)^(−1/2)·2=1/√(2x+1)로 정리할 수 있다. 이 식은 분모가 0이 되지 않아야 하므로 미분 가능한 범위는 x>−1/2이고, 정답은 1/√(2x+1), x>−1/2이다. 이후 문제와 조건, 필요한 검산 자료만 남기고 풀이와 정답 및 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 먼저 f(x)=(2x+1)³, x∈R의 도함수를 구하게 한다. 바깥 미분 3(2x+1)²과 안쪽 미분 2를 각각 적고 곱하면 f′(x)=6(2x+1)²이다. 전개한 8x³+12x²+6x+1을 미분한 24x²+24x+6과 비교하면 두 식은 같아 검산된다. 이 문제는 근호의 경계값을 새로 처리하는 문제가 아니라, 표현만 바뀐 합성함수에서 안쪽 미분을 연결하는지 살피는 예다. 다음 점검에서는 풀이 순서를 가린 채 정의역과 검산 방법만 제시하고, 학생이 근호 문제에서 정의역과 미분 가능 범위를 따로 적는지 확인한다. 공식이 겹쳐 막히면 바깥 함수와 안쪽 식을 한 번씩만 미분해 연결하도록 한다.