인천불로동 고등수학과외

평균값 정리 문제에서 계산 결과를 곧바로 c라고 적으면 무엇을 구한 것인지 흐려질 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 먼저 문제의 조건과 기호가 가리키는 대상을 표시한 뒤, 평균변화율과 순간변화율을 구별하도록 한다.

4는 c가 아니라 구간의 평균변화율

예를 들어 f(x)=x²에 대하여 구간 [1,3]에서 평균값 정리를 만족하는 c∈(1,3)을 구한다고 하자. 이렇게 답했다면 “c=(f(3)−f(1))/(3−1)=4”라고 쓴 셈이다. 실제로 f(3)=9, f(1)=1이므로 계산한 4는 두 끝점을 잇는 할선의 기울기, 즉 평균변화율이다. 확인 질문은 간단하다. “4는 입력 c인가, 기울기 값인가?” 이 질문에 답하며 식의 역할을 다시 표시한다.

다항함수 f(x)=x²는 닫힌구간 [1,3]에서 연속이고 열린구간 (1,3)에서 미분가능하므로 평균값 정리를 적용할 수 있다. 따라서 정리의 결론은 f′(c)=(f(3)−f(1))/(3−1)이다. f′(x)=2x이므로 2c=4를 세우고 c=2를 얻는다. 4를 c로 읽은 식은 기울기와 입력값을 혼동한 것이며, 실제로 뜻하는 값은 평균변화율이다.

학생이 계산하고 조건을 대조하는 수정 과정

중간 결과를 함께 확인한 뒤 최종 판단은 학생이 문장으로 쓰게 한다. “평균변화율은 4이고, 순간변화율 f′(c)=2c가 이 값과 같아야 하므로 2c=4, c=2이다.” 이어 2∈(1,3)인지 직접 표시한다. 접선의 기울기 f′(2)=4도 계산하여 할선의 기울기와 일치하는지 대조하면, 정답 c=2가 식과 범위 양쪽에서 성립함을 확인할 수 있다.

이 과정은 증가·감소 판단과도 이어진다. 한 점에서 도함수 값이 0이라는 사실만으로 극값을 단정할 수 없고, 도함수가 비음수라는 이유만으로 항상 엄격한 증가라고 말할 수도 없다. 증가·감소는 해당 구간을 나누어 도함수의 부호를 살피고, 필요한 경우 함수값의 변화를 함께 확인해야 한다.

조건을 바꾼 문제에서 결론을 다시 세우기

문제와 조건만 남긴 종이를 준비한다. f(x)=|x|, 구간 [−1,1]에서 f′(c)=0인 c∈(−1,1)이 존재하는지 판단하되, 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 이는 앞 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 열린구간에서 미분가능하다는 조건이 달라지는 경우다.

학생은 먼저 x<0에서 f′(x)=−1, x>0에서 f′(x)=1임을 적고, x=0에서는 미분가능하지 않음을 표시한다. 그러므로 열린구간에서 도함수 값은 −1 또는 1뿐이며 f′(c)=0인 점은 없다. 평균값 정리나 롤의 정리의 결론을 사용하려면 필요한 연속성과 미분가능성을 먼저 확인해야 하므로, 이 함수에는 해당 결론을 그대로 요구할 수 없다.

마지막 줄은 비워 둔다. 학생이 “그런 c는 없으며, 0에서는 미분불가능하고 나머지 점의 도함수는 ±1이기 때문이다”라고 직접 완성하게 한다. 이후에는 구간, 미분가능성, 도함수의 부호를 먼저 표시하는지 살핀다. 한 점의 기울기로 구간 전체를 판단하려 하면 인접한 구간의 부호를 각각 조사하도록 하며, 바뀐 조건이 결론을 어떻게 바꾸는지 다시 설명하게 한다.