루원시티 고등수학과외

풀이와 정답을 가린 채 문제만 다시 펼쳐 보았다고 하자. 구 x²+y²+z²=25와 평면 z=6의 교집합을 구하는 상황이다. 먼저 학생이 “제곱의 합이 음수인 방정식을 실수에서 풀 수 있는가?”라고 스스로 묻고, 앞서 적었던 계산을 한 줄씩 복원하게 한다. 공간좌표와 구에서는 그림의 겉모양만 보고 판단하지 않고, 주어진 식과 조건을 직접 대조하는 과정이 필요하다.

z=6을 대입한 뒤 잘못된 반지름을 점검하기

이렇게 답했다면 어떨까. z=6이므로 x²+y²=25−36=−11이고, 따라서 반지름은 √(25−36)=√11이라고 적는 경우다. 그러나 이 식은 원의 반지름을 구한 식이 아니라 x²+y²=−11이라는 조건을 뜻한다. 실수 x, y의 제곱합은 항상 0 이상이므로 이 방정식을 만족하는 실수 점은 없다. 음수가 된 결과를 억지로 반지름으로 해석할 수는 없다.

교사는 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않는다. 평면에서 한 좌표를 대입하는 규칙을 공간에서도 적용했는지, 구의 반지름과 반지름의 제곱을 혼동했는지 확인한다. 학생에게 x, y, z가 각각 중심에서 어느 방향의 변위인지 말하게 하고, 구의 식에서 25가 반지름 자체인지 반지름의 제곱인지 표시하게 한다. 이어 x²+y²=−11의 양변이 실수 범위에서 어떤 의미인지 직접 설명하게 한다.

거리의 제곱과 평면의 위치를 식으로 비교하기

구 x²+y²+z²=25는 중심 (0,0,0)에서 점 (x,y,z)까지 거리의 제곱이 25라는 뜻이다. 따라서 구의 반지름은 5이다. 평면 z=6에서는 중심에서 평면까지의 수직거리가 6이므로, 반지름 5인 구가 그 평면까지 닿을 수 있는지 먼저 비교할 수 있다. 6이 5보다 크므로 두 도형은 만나지 않는다. 대수적으로도 z=6을 원래 식에 대입하면 x²+y²=−11이 되어 실수 교집합이 없음을 확인한다.

이제 학생이 직접 수정한다. “z=6을 대입하면 x²+y²=25−36=−11이다. x²+y²는 실수에서 음수가 될 수 없으므로 실수 점이 없다. 따라서 교집합은 공집합이다.”라고 적고, 중심과 평면 사이 거리 6, 구의 반지름 5라는 비교를 옆에 덧붙인다. 한 가지 계산과 한 가지 거리 비교가 같은 결론을 가리키는지 대조하면 답의 성립 조건도 분명해진다.

조건을 남긴 채 달라진 평면에 다시 적용하기

이번에는 문제와 필요한 조건만 남긴다. 구 x²+y²+z²=25를 평면 z=3으로 자른 단면 원의 중심과 반지름을 구하라. 풀이와 정답은 보이지 않게 한 상태에서 학생이 먼저 중심에서 평면까지의 거리 3과 구의 반지름 5를 비교하고, 만나는 경우라는 판단 근거를 적게 한다. 평면의 표현만 달라진 것인지 조건 자체가 달라진 것인지도 확인해야 한다. z=6에서는 거리 6이 반지름 5보다 커서 만나지 않았지만, z=3에서는 새로운 단면이 생긴다.

학생은 z=3을 대입해 x²+y²+9=25, 즉 x²+y²=16으로 줄인다. 따라서 단면 원의 중심은 평면 위의 (0,0,3), 반지름은 4이다. 마지막으로 중심에서 평면까지 거리 3과 단면 반지름 4의 제곱합이 3²+4²=25가 되어 원래 구의 반지름 제곱과 일치하는지 검산한다. 다음 점검에서도 x, y, z의 변화량을 각각 적고, 구와 평면이 만나는 근거를 말로 복원하는지 확인한다. ರೂ원시티고등수학과외의 이 연습은 답만 맞히는 데서 끝나지 않고, 조건이 바뀌었을 때 같은 원리를 조정해 쓰는 데 초점을 둔다.