검암지구 고등수학과외

“$f^{-1}(x)=\frac{1}{3x-2}$”라고 답했다면

합성함수와 역함수를 다루는 수업에서 다음과 같은 예시 답안을 먼저 살펴볼 수 있다. $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$의 역함수를 구하라는 문제에 “$f^{-1}(x)=\frac{1}{3x-2}$”라고 적었다면, 계산 한 줄만 보고 원인을 단정하지 않는다. 역함수 기호를 역수 기호처럼 해석했는지, 원래 함수의 입력과 출력 관계를 뒤집는 과정에서 정의역과 치역을 놓쳤는지 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 “출력 $y$에서 원래 입력 $x$를 되찾는 식은 무엇인가?”라고 묻고, 학생이 $y=3x-2$를 직접 다시 풀어 보게 한다.

역수와 역함수의 작동을 식으로 대조하기

역수는 어떤 식의 곱셈 결과가 1이 되도록 뒤집는 연산이므로 $\frac{1}{3x-2}$를 뜻한다. 그러나 역함수는 입력과 출력의 대응 자체를 거꾸로 읽는 함수다. $y=3x-2$에서 원래 입력을 되찾으려면 양변에 2를 더한 뒤 3으로 나누어 $x=\frac{y+2}{3}$을 얻는다. 여기서 첫 비교만 교사가 제시하고, $y$를 다시 함수의 입력 기호로 바꾸는 과정은 학생이 적도록 한다. 따라서 수정된 식은 $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}$이다. 두 함수가 서로 되돌리는지 확인하려면 $f(f^{-1}(x))=3\left(\frac{x+2}{3}\right)-2=x$, $f^{-1}(f(x))=\frac{(3x-2)+2}{3}=x$를 각각 계산한다. 이 함수는 $\mathbb{R}$ 전체에서 일대일 대응을 이루므로 역함수의 정의역도 $\mathbb{R}$이다. 단순히 도형처럼 식을 뒤집는 것이 아니라, 어느 값을 입력해 어느 출력으로 보내는지 확인해야 한다.

범위 제한 뒤에도 입력·출력 대응을 유지하는지

다음 점검에서는 문제와 필요한 조건만 남긴다. $f:[1,\infty)\to[3,\infty)$, $f(x)=2x+1$의 역함수와 정의역을 구하라는 문장을 보여 주고, 풀이와 정답, 유도 과정은 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 출력 $y\ge 3$에서 원래 입력을 되찾는 식이 무엇인지 말한 뒤 $y=2x+1$을 스스로 풀어 $x=\frac{y-1}{2}$를 완성해야 한다. 이후 기호를 바꾸면 $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$이고, 역함수의 정의역은 원래 함수의 치역인 $[3,\infty)$, 치역은 $[1,\infty)$임을 표시한다. 경계값도 직접 대조한다. 역함수에 입력 3을 넣으면 $\frac{3-1}{2}=1$이 되어 원래 입력의 경계로 돌아가며, $f(1)=3$도 성립한다. 표현만 바꾼 문제가 아니라 원래 함수의 범위를 제한한 조건이 추가된 문제이므로, 정의역을 다시 $\mathbb{R}$로 쓰지 않는지 다음 풀이에서 확인한다. 기호 변경만으로 풀 때도 구체적인 입력 하나가 역함수와 원래 함수의 두 단계를 거쳐 제자리로 돌아오는지 적게 하면, 역수와 역함수의 차이와 정의역의 근거를 함께 점검할 수 있다.