마전동 고등수학과외

수직 조건을 말로는 설명할 수 있지만, 식에 실제로 적용하는 순간 다른 답을 쓰는 경우가 있다. 공통수학2의 좌표와 직선의 방정식에서는 그림의 모양만 보고 판단하지 말고, 기울기와 점의 대입을 각각 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서도 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않고, 학생이 어떤 기준을 사용했는지 질문과 계산으로 확인한다.

평행 기울기를 사용한 오답에서 조건 다시 읽기

문제는 직선 y=2x+1에 수직이며 점 (1,0)을 지나는 직선의 방정식을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 어떨까. “기울기는 2이므로 y=2x−2이다.” 점 (1,0)을 대입하면 0=2−2가 되어 점을 지나는 조건은 만족한다. 그러나 기울기 2를 그대로 사용했으므로 주어진 직선과 평행한 식이다. 점을 지난다는 조건 하나만 맞고 수직 조건은 빠진 셈이다.

여기서 먼저 “기울기가 둘 다 정의될 때 수직인 두 직선의 기울기 곱은 얼마인가?”라고 묻는다. 학생은 처음 쓴 식의 기울기와 주어진 직선의 기울기를 직접 곱해 답을 대조한다. 그래도 이유가 분명하지 않다면 좌표의 차이와 직선의 방향을 모르는지, 기울기 공식에서 분모가 0이 되는 경우를 놓치는지 구분해 확인한다. 이번 문제의 두 직선은 모두 기울기가 정의되므로 곱 조건을 사용할 수 있다.

기울기 조건과 점의 대입을 분리해 수정하기

주어진 직선의 기울기는 2이므로 수직인 새 직선의 기울기를 m이라 하면 2m=−1이다. 따라서 m=−1/2이다. 교사는 변위와 거리의 의미를 구분하고, 직선 위 점을 식에 넣는 절차를 기준으로 보여 준다. 다만 숫자를 대신 계산해 주기보다 학생이 직접 새 식을 세우고 점을 대입하게 한다.

학생이 수정해서 y=−(x−1)/2=−x/2+1/2라고 썼다면, 두 표현이 같은 식인지 전개로 확인한다. 이어 기울기가 −1/2인지 읽고, (1,0)을 대입해 0=−1/2+1/2가 되는지 직접 표시한다. 기울기의 곱은 2×(−1/2)=−1이므로 수직 조건을 만족한다. 이처럼 정답 y=−x/2+1/2는 점의 조건과 수직 조건을 각각 통과해야 성립한다.

조건을 바꾼 뒤에도 같은 기준으로 재적용하기

다음 재시도는 문제와 필요한 자료만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. “직선 y=2x+1과 평행하며 점 (1,0)을 지나는 직선의 방정식을 구하라.”는 조건을 제시하고, 학생이 먼저 평행에 필요한 기울기 관계를 말한 뒤 새 식을 세우게 한다. 이는 앞 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 수직에서 평행으로 조건을 실제로 바꾼 경우다.

학생이 새 직선을 y=2x+b로 놓고 점을 대입해 0=2+b, b=−2를 얻었다면 y=2x−2가 된다. 기울기 2가 같고 절편이 달라 서로 다른 평행선인지, (1,0)을 지나는지 다시 확인한다. 마지막에는 확인 질문만 남긴 재시도에서 학생이 필요한 식을 처음부터 세우는지 본다. 기본 답을 외운 것과 달라진 조건에 적용한 것은 구별해야 한다. 그림의 모양으로 판단했다면 주어진 두 점의 좌표를 식에 직접 넣어 대조하고, 다음 자료에서도 기울기 관계와 대입 조건을 같은 순서로 점검한다.