청라동 고등수학과외

“독립이니 함께 일어나지 않아 0.” 이렇게 답했다면, 먼저 독립을 배반과 같은 뜻으로 사용했는지 확인해야 한다. 독립인 사건은 한 사건이 일어났다는 사실이 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는 관계이고, 배반인 사건은 두 사건이 함께 일어날 수 없는 관계다. 말의 느낌만으로 판단하지 않고 교집합의 확률과 두 확률의 곱을 실제로 비교하는 과정이 필요하다.

독립과 배반을 수식으로 구별하기

문제의 조건은 A와 B가 독립이고 P(A)=1/2, P(B)=1/3이라는 것이다. 독립의 판단 기준은 P(A∩B)=P(A)P(B)이며, 배반의 기준은 P(A∩B)=0이다. 두 사건의 확률이 모두 양수라면 배반일 때 교집합은 0이지만, 독립일 때 필요한 곱은 양수가 된다. 따라서 양의 확률을 가진 배반사건은 독립일 수 없다.

이때 학생에게 “독립과 배반의 수식은 각각 무엇인가?”라고 묻고, 두 식을 직접 적어 보게 한다. 표본을 이루는 결과가 한 사건에 포함되었다는 이유만으로 다른 사건이 불가능해지는지, 아니면 여전히 일어날 수 있는지를 표시하게 하면 두 개념의 차이를 확인하기 쉽다. 오답 한 줄만으로 원인을 확정하지 않고, 사건의 관계와 조건부확률이 어떻게 달라지는지 함께 대조한다.

곱셈 조건을 사용해 수정 풀이 쓰기

독립 조건에 따라 먼저 P(A∩B)=P(A)P(B)를 쓰고, 첫 비교까지만 제시한 뒤 남은 계산은 학생이 직접 이어 간다. 그러면 P(A∩B)=(1/2)(1/3)=1/6이므로 정답은 1/6이다. 학생이 계산한 1/6을 확인할 때는 단순히 숫자만 맞는지 보지 않고 조건에 맞는지도 살핀다.

부분 검산으로 P(B|A)를 계산하면 P(B|A)=(1/6)/(1/2)=1/3이다. 이는 원래 P(B)=1/3과 같으므로 A가 일어났다는 조건이 B의 확률을 바꾸지 않는다는 독립의 뜻과 맞는다. 반대로 “함께 일어나지 않는다”는 해석을 적용하면 교집합을 0으로 두게 되는데, 이는 주어진 독립 조건에서 나온 곱 1/6과 다르다. 이처럼 잘못된 식이 실제로 의미하는 값을 조건과 비교해야 한다.

조건을 바꾸어 관계를 다시 판단하기

표현만 바꾼 것이 아니라 사건의 관계를 실제로 바꾼 경우도 확인한다. P(A)=1/2, P(B)=1/3이고 A와 B가 배반이라면 P(A∩B)=0이다. 두 확률의 곱은 1/6이므로 0과 다르며, 독립 조건을 만족하지 않는다. 따라서 독립이 아니다. 조건부확률도 P(B|A)=0이 되어 P(B)=1/3과 달라지므로, A가 일어났다는 조건이 B의 가능성에 영향을 준다는 점을 확인할 수 있다.

마지막으로 배움노트 고등수학 수업의 재적용에서는 문제의 조건과 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 독립과 배반의 수식을 각각 적은 뒤, 교집합 확률과 두 확률의 곱을 실제로 비교해 판단한다. 같은 내용을 말만 바꾼 문제인지, 배반처럼 조건이 달라진 문제인지 먼저 구분하고, 계산 과정과 조건부확률까지 직접 대조하는지를 다음 점검에서 확인한다.