근화동 고등수학과외

미적분Ⅱ에서 합성·몫·음함수·매개변수의 미분을 다룰 때는 공식을 기억하는 것보다 각 식이 어떤 함수의 안쪽과 바깥쪽으로 이루어졌는지 확인하는 과정이 중요하다. 다음 문제를 풀면서 정답만 맞히는 것이 아니라, 왜 안쪽 식의 변화율을 곱해야 하는지 점검해 보자. 문제는 f(x)=(2x+1)³ (x∈R)의 도함수를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 풀이의 첫 인상은 자연스럽지만, 바깥 식을 미분한 3(2x+1)²에서 계산이 멈춰 있다.

3(2x+1)²에서 빠진 값을 질문으로 찾기

이 답만 보고 곧바로 개념을 모른다고 단정하지 않는다. 학생에게 “안쪽 2x+1의 변화율 2도 곱했는가?”라고 묻고, 바깥 함수와 안쪽 식을 각각 표시하게 한다. 바깥 함수는 u³, 안쪽 식은 u=2x+1로 둘 수 있다. 학생이 3u²까지는 적었지만 u가 x에 따라 얼마나 변하는지를 적지 않았다면, 빠진 부분은 안쪽 미분일 가능성이 있다. 반대로 안쪽 미분을 알고도 식을 옮기는 과정에서 누락했을 수 있으므로, 2x+1 아래에 변화율 2를 직접 써 보게 하고 자신의 답과 대조하게 한다. 이처럼 확인 질문과 표시를 함께 해야 오답의 원인을 좁힐 수 있다.

바깥 미분과 안쪽 미분을 한 번씩 연결하기

교사는 남은 계산을 모두 대신하지 않고 첫 비교까지만 제시한다. 합성함수의 미분은 바깥 미분값에 안쪽 미분값을 곱하므로, 바깥에서 얻는 3(2x+1)²과 안쪽에서 얻는 2를 나란히 적는다. 이제 학생이 두 값을 곱해 f′(x)=6(2x+1)²를 완성한다. 이 식은 x의 모든 실수에서 정의되고 미분 가능하다. 전개하여 f(x)=8x³+12x²+6x+1로 바꾸면 도함수는 24x²+24x+6이고, 6(2x+1)²을 전개한 결과도 24x²+24x+6이므로 두 계산이 일치한다. 전개 검산은 특정 수 하나를 대입한 확인보다 식 전체의 동치 여부를 보여 준다는 점에서 의미가 있다.

표현이 바뀐 문제에서 정의역까지 다시 점검하기

이제 문제와 조건, 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답·유도 표시는 가린 상태에서 f(x)=√(2x+1)의 도함수와 미분 가능한 실수 범위를 구한다. 앞 문제와 같은 것은 안쪽 식을 미분해 곱하는 원리이고, 달라진 것은 근호 때문에 정의역과 미분 가능 범위를 따로 확인해야 한다는 점이다. 먼저 2x+1≥0이므로 원함수의 정의역은 x≥−1/2이다. 내부가 양수인 x>−1/2에서 학생은 (1/2)(2x+1)^−1/2·2를 직접 적고 f′(x)=1/√(2x+1)을 완성한다. x=−1/2에서는 함수값은 존재하지만 오른쪽 차분몫이 √(2h)/h로 커져 유한한 미분계수가 없으므로 미분 가능 범위는 x>−1/2이다. 문제의 표현만 바뀐 경우와 조건이 실제로 바뀐 경우를 구별하며, 다음 점검에서는 “안쪽 변화율 2를 곱했는가?”에 답한 뒤 계산을 혼자 완성하는지 확인한다. 공식이 중첩되어 막히면 바깥 함수와 안쪽 식을 한 번씩만 미분해 연결하면 된다.