온의동 고등수학과외

“도함수는 같지만 함수는 4만큼 달라 주장은 거짓.” 이 문장은 처음부터 결론을 외운 것이 아니라, 두 함수의 식과 조건을 차례로 대조해 얻은 수정 풀이의 핵심이다. 다항함수의 미분법에서 도함수 정보는 함수의 변화율을 알려 주지만, 원래 함수의 상수항까지 하나로 정해 주지는 않는다. 따라서 배움노트 고등수학 수업에서는 같은 도함수가 보였을 때 곧바로 두 함수가 같다고 쓰지 않고, 무엇이 아직 결정되지 않았는지 표시하게 한다.

같은 도함수에서 빠진 판단 찾기

예를 들어 f′(x)=g′(x), f(x)=x²+3, g(x)=x²−1일 때 “둘 다 2x이므로 f=g”라고 답했다면, 계산 자체에는 공통점이 있지만 결론으로 넘어가는 판단이 빠져 있다. 먼저 x=0을 대입해 두 함숫값이 같은지 확인한다. f(0)=3이고 g(0)=−1이므로 한 점에서도 값이 다르다. 이어서 학생이 ‘도함수가 같으면 원래 함수도 같다’고 생각한 것인지, 상수 차이가 생길 수 있다는 사실은 알지만 그 차이를 한 점의 함숫값으로 정하는 방법을 모르는 것인지 질문한다. 오답 하나만 보고 원인을 확정하지 않고, 학생이 직접 두 값과 차이를 계산해 표시하게 한다.

상수항을 남겨 함수의 차이 계산하기

다항함수에서 상수항은 미분할 때 0이 되므로 도함수에 나타나지 않는다. 실제 식을 빼 보면 f(x)−g(x)=(x²+3)−(x²−1)=4이다. 따라서 두 함수는 모든 x에서 4만큼 차이 나며, 도함수가 같다는 사실만으로 같은 함수라고 할 수 없다. 학생에게 “그렇다면 f−g는 어떤 식인가?”를 직접 쓰게 하고, 상수 4의 도함수가 0이라는 점으로 결과를 대조한다. 정답은 거짓이고 f−g=4이다. 이는 특정 x=0에서 우연히 나온 결과가 아니라, 두 함수의 차가 상수라는 일반적인 관계로 설명된다. 한 점의 함숫값을 알면 그 상수 차를 정할 수 있지만, 도함수만 주어진 상태에서는 여러 함수가 후보로 남는다.

한 점의 조건으로 후보를 좁히고 다시 적용하기

이제 풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남긴다. f′(x)=2x인 다항함수 f가 f(0)=3을 만족할 때 f(x)를 구하는 문제다. 먼저 도함수만으로 판단하지 말고 f=x²+C라는 모든 후보를 적는다. 여기서 C는 아직 정해지지 않은 상수다. f(0)=3을 대입하면 C=3이므로 f(x)=x²+3을 얻는다. 미분하면 f′(x)=2x이고, x=0에서 f(0)=3이므로 두 조건을 모두 만족한다. 같은 개념이라도 앞 문제는 두 함수의 차이를 판단했고, 이번에는 한 점의 함숫값으로 상수항을 정했다는 차이를 한 문장으로 쓰게 한다. 다음에는 경계값이나 제외 조건부터 표시하고, 상수 차이를 놓치면 같은 도함수를 갖는 두 다항식을 직접 만든 뒤 한 점의 조건으로 하나를 선택하는지 점검한다.